Somme d'une série, théorème de sommation par paquets
Bonjour
J'ai des difficultés sur cet exercice du Dunod Tout en un, MPSI. J'ai la correction mais je ne comprends rien à ce qui est fait. Pourtant elle est très détaillée.
Je n'arrive pas à faire l'exercice tout seul non plus.
Je me perds un peu entre tous les théorèmes du cours sur la sommabilité, théorème de Fubini, sommation par paquets, distributivité généralisée, produit de Cauchy...
Exercice 32.11.
Soit $(a_n)_{n \geq 1}$ une suite convergente de limite nulle.
Pour $n$ dans $\N^{*}$, on pose $\Delta_n = a_n - a_{n+1}$. On suppose que $\sum \Delta_n \ln(n)$ converge absolument.
Montrer que la série $\sum \dfrac{a_n}{n}$ converge et exprimer sa somme comme la somme d'une autre série.
Le début ça va.
La suite $(a_n)_{n \geq 1}$ est convergente, donc la série télescopique $\sum_{n \geq 1} \Delta_n$ converge. On a de plus : $\forall n \in \N^{*} \ \displaystyle\sum_{p=n}^{+\infty} \Delta_p =a_n$.
Donc : $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{a_n}{n} = \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \left( \displaystyle\sum_{p=n}^{+\infty} \dfrac{\Delta_p}{n} \right)$.
À partir de là, je nage. Le corrigé dit qu'il faut étudier la sommabilité de la famille $(\dfrac{\Delta_p}{n})_{1 \leq n \leq p}$ et que le théorème de sommation par paquets donnera alors la convergence absolue de la série $\sum \dfrac{a_n}{n}$.
Déjà je ne vois pas d'où ça sort, je ne vois pas où est la partition pour utiliser le théorème de sommation par paquet.
Et je ne vois pas le lien direct entre la sommabilité de la famille et la somme de la série.
J'ai des difficultés sur cet exercice du Dunod Tout en un, MPSI. J'ai la correction mais je ne comprends rien à ce qui est fait. Pourtant elle est très détaillée.
Je n'arrive pas à faire l'exercice tout seul non plus.
Je me perds un peu entre tous les théorèmes du cours sur la sommabilité, théorème de Fubini, sommation par paquets, distributivité généralisée, produit de Cauchy...
Exercice 32.11.
Soit $(a_n)_{n \geq 1}$ une suite convergente de limite nulle.
Pour $n$ dans $\N^{*}$, on pose $\Delta_n = a_n - a_{n+1}$. On suppose que $\sum \Delta_n \ln(n)$ converge absolument.
Montrer que la série $\sum \dfrac{a_n}{n}$ converge et exprimer sa somme comme la somme d'une autre série.
Le début ça va.
La suite $(a_n)_{n \geq 1}$ est convergente, donc la série télescopique $\sum_{n \geq 1} \Delta_n$ converge. On a de plus : $\forall n \in \N^{*} \ \displaystyle\sum_{p=n}^{+\infty} \Delta_p =a_n$.
Donc : $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{a_n}{n} = \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \left( \displaystyle\sum_{p=n}^{+\infty} \dfrac{\Delta_p}{n} \right)$.
À partir de là, je nage. Le corrigé dit qu'il faut étudier la sommabilité de la famille $(\dfrac{\Delta_p}{n})_{1 \leq n \leq p}$ et que le théorème de sommation par paquets donnera alors la convergence absolue de la série $\sum \dfrac{a_n}{n}$.
Déjà je ne vois pas d'où ça sort, je ne vois pas où est la partition pour utiliser le théorème de sommation par paquet.
Et je ne vois pas le lien direct entre la sommabilité de la famille et la somme de la série.
Réponses
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1. Sommer sur $n$ permet de se ramener à un terme asymptotiquement en $p$ égal à $|\Delta_p| \ln(p)$ (après ajout des valeurs absolues sur $ \Delta_p$) .2. D'où la convergence absolue de $\sum_{p \geq 1} \sum_{1 \leq n \leq p} \frac{\Delta_p}{n}$.3. D'où la convergence absolue de la série double $\sum \sum_{n,p} \frac{\Delta_p}{n}$.4. D'où la possible utilisation du théorème de Fubini qui permet d'exprimer la somme de la série double dans les deux ordres de sommation selon ce que l'on veut en faire.
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Je n'ai pas compris.
Pareil que pour le corrigé je ne comprends rien. Je n'arrive pas à voir le lien avec le cours.
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Envoie aussi le corrigé tant qu'à faire...
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Et aussi, tous les théorèmes du cas positifs car ils sont également utiles.
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Je vais envoyer le corrigé mais les théorèmes j'en ai déjà trop mis. Je ne pense pas que ce soit utile d'en rajouter.
Le corrigé parle de sommation par paquets.
Il y a trop de théorèmes je ne sais plus lequel utiliser.
Si c'est le théorème de Fubini je n'arrive même pas à identifier I et J.
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Non, ce n'est pas Fubini. C'est une somme triangulaire, comme dans un autre exemple que tu as traité récemment.
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On peut aussi dire que c'est Fubini : il suffit de multiplier le sommande par la fonction indicatrice de l'ensemble des couples $(n,p)$ tels que $n\leq p$ et $I=J=\N^*$.
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Voici le corrigé.
À partir de "Montrons la sommabilité" je ne comprends rien au corrigé.
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Pourquoi on étudie la sommabilité de la famille $(\dfrac{\Delta_p}{n})_{1 \leq p \leq n}$ ?
Je ne vois pas où dans le rappels de cours que j'ai mis il est expliqué que cela donne la convergence absolue de $\sum \dfrac{a_n}{n}$.
Comment on utilise le théorème de sommation par paquets ici ?
Qui est $I$ ? C'est quoi la partition ? -
Franchement, je me dis qu'on serait nombreux à avoir gagné des paquets de fric pour t'avoir donné des cours particuliers, @Oshine...Bref, ceci étant dit, quelque part dans ton cours, tu dois avoir un résultat qui stipule que si $u$ est une suite de nombres complexes alors il y a équivalence entre "la famille $(u_n)_{n\in\N}$ est sommable" et "la série $\sum_{n\geq 0}u_n$ est absolument convergente".Par conséquent, pour montrer la convergence absolue de la série $\sum_{n\geq 1}\frac{a_n}{n}$, on peut montrer que la famille $(\frac{a_n}{n})_{n\in\N^*}$ est sommable, et pour cela, on peut utiliser le théorème de sommation par paquets.Pour faire un résumé ultra-simple des familles sommables :
- Si tu as affaire à des réels positifs : tu peux faire ce que tu veux. Sommer dans n'importe quel ordre, en regroupant comme tu veux. Si, à la fin de ton calcul, tu obtiens un réel, ta famille est sommable. Si tu obtiens $+\infty$, elle ne l'est pas.
- Si tu as affaire à des réels ou à des complexes a priori quelconques, tu prends le module et tu appliques le point 1. pour vérifier la sommabilité. Ensuite, une fois que c'est sommable, tu peux à nouveau sommer dans n'importe quel ordre, en regroupant comme tu veux.
À chaque fois que tu dis que tu ne comprends pas comment on utilise ce théorème, en fait, c'est que tu n'as pas vu que les ensembles sur lesquels on somme sont les mêmes !Pour le cas qui nous intéresse, j'ai déjà écrit la décomposition il y a deux jours... Tu devrais t'en souvenir. -
Merci mais je suis encore totalement perdu. L'exercice 11 est le premier du chapitre où je n'y arrive pas même avec le corrigé.
Oui j'ai bien le fait que $(u_n)_{n \in \N}$ est sommable si et seulement si la série $\sum_{n \geq 0} u_n$ est absolument convergente.
Ici : $\dfrac{a_n}{n}= \displaystyle\sum_{p=n}^{+\infty} \dfrac{\Delta_p}{n}$.
Donc : $ \sum \dfrac{a_n}{n}$ est absolument convergente si et seulement si $(\displaystyle\sum_{p=n}^{+\infty} \dfrac{\Delta_p}{n})_n$ est sommable.
Pour la décomposition que tu m'as donnée oui je m'en souviens mais ici je ne comprends pas le rapport avec cet exercice ? Comment trouver $I$ dans l'exercice ?
$\boxed{\{ (n,k) \in \N^2 \ | \ k \leq n \}= \displaystyle\bigcup_{n \in \N} \{ (n,k) \ \ k \in \{0, \cdots, n \} \} = \displaystyle\bigcup_{k \in \N} \{ (n,k) \ \ n \in \{k, \cdots, + \infty \} \} }$
La propriété du cours dit qu'il faut montrer que $( \displaystyle\sum_{p=n}^{+\infty} \dfrac{\Delta_p}{n})_n$ est sommable mais pourquoi le corrigé parle de $(\dfrac{\Delta_p}{n})_{1 \leq n \leq p}$ je ne comprends pas ce passage.
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C'est la deuxième boule du théorème 16 que tu n'as pas bien digérée (entre autre).
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L'énoncé a simplifié la notation, mais il devrait dire la famille $\left(\dfrac{\Delta_p}{n}\right)_{(n,p)\in U}$ où $U=\{(n,p)\in \N^2\mid 1\leq n\leq p\}$.Une fois que tu as compris cela, tout le reste coule de source.
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Ah d'accord merci.
Mais où est passé la somme $\displaystyle\sum_{p=n}^{+\infty}$ ?
$(u_n)_{n \in \N}$ est sommable si et seulement si la série $\sum_n u_n$ est absolument convergente.
Ici $u_n= \dfrac{a_n}{n}= \displaystyle\sum_{p=n}^{+\infty} \dfrac{\Delta_p}{n}$.
Donc il faudrait montrer que $(\displaystyle\sum_{p=n}^{+\infty} \dfrac{\Delta_p}{n})_{n \geq 1}$ est sommable.
Je ne comprends pas pourquoi le corrigé parle de $( \dfrac{\Delta_p}{n})_{(n,p) \in U}$ ...
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Lis ton théorème 16, et identifie tes paquets...
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Pense donc à regarder la deuxième boule du théorème 16. Tu as du mal à lire les messages pourtant courts qui te sont envoyés ?
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$I= \{ (n,p) \in (\N^{*})^2 \ | \ p \leq n \}$
$I=\displaystyle\bigcup_{n \in \N^{*}} I_n$ avec $I_n = \{ (n,p) \in (\N^{*})^2 \ | \ p \leq n \}$.
Mais ensuite je bloque. Dans le théorème 16, il n'y a que du $a_i$.
Ici je m'embrouille entre le $\dfrac{a_n}{n}$ et le $\dfrac{\Delta_p}{n}$.
Je n'arrive pas à voir en quoi le théorème 16 donne le lien entre la convergence absolue de la série $\sum_{n \geq 1} \dfrac{a_n}{n}$ et la sommabilité de $(\dfrac{\Delta_p}{n})_{1 \leq p \leq n}$.
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Faisons d'abord l'exercice en essayant de comprendre où l'on va... et ensuite, on prouve que l'on pouvait faire ce que l'on a fait sans justification.On aimerait calculer \[S=\sum_{n\geq 1}\frac{a_n}{n}\]On remarque que pour tout $n\geq 1$, \[a_n=\sum_{p\geq n}\Delta_p\]On en déduit que \[S=\sum_{n\geq 1}\sum_{p\geq n}\frac{\Delta_p}{n}\]Pour continuer le calcul, on intervertit les sommes : \[S=\sum_{p\geq 1}\Delta_p\sum_{1\leq n \leq p}\frac{1}{n}\]Il ne reste plus qu'à justifier que l'on avait le droit d'intervertir ces sommes... et pour cela, on utilise la sommabilité de la famille $\left(\frac{\Delta_p}{n}\right)_{(n,p)\in U}$... et pour cela, on utilise le théorème de sommations par paquets des familles de réels positifs... etc.
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@bisam
Bon en fait avec ton explication, l'exercice devient facile.
Merci beaucoup, c'est bien plus clair maintenant. J'ai tout compris à présent
Ta notation avec le $(n,p) \in U$ est meilleure que celle du corrigé, car dans le corrigé, si on est débutant comme moi sur les familles sommables, on est vite perdu.
D'ailleurs, il me semble que le corrigé est faux, $\displaystyle\sum_{ 1 \leq p \leq n} \dfrac{\Delta_p}{n} $ est une somme simple alors que $\displaystyle\sum_{(n,p) \in U} \dfrac{\Delta_p}{n}$ est une somme double.
@JLapin
Ce n'était pas le deuxième point du théorème 16 qui me posait problème mais cette histoire du $1 \leq n \leq p$, je ne voyais pas le couple d'entier $(n,p) \in U$. -
OShine a dit :
D'ailleurs, il me semble que le corrigé est faux, $\displaystyle\sum_{ 1 \leq p \leq n} \dfrac{\Delta_p}{n} $ est une somme simpleNon, pas du tout. IL n'y a qu'un seul symbole $\sum$ mais deux variables muettes $p$ et $n$ qui décrivent les entiers naturels non nuls avec la condition supplémentaire $p\leq n$.C'est une façon plus légère et on ne peut plus classique de noter la somme $\sum_{(n,p)\in U}$ que tu mentionnes ensuite. -
Ah d'accord merci.
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Bonsoir,je me demandais si on pouvait parvenir plus simplement à la convergence de la série $\sum \dfrac{a_n}{n}$ en utilisant la transformation d'Abel sur les sommes $\sum\limits_{k=m}^n \dfrac{a_k}{k}$ en faisant intervenir la suite des sommes partielles $(H_n)$ de la série harmonique $\sum \dfrac{1}{k}$.Classiquement , $H_n = \ln(n) + \gamma + \dfrac{1}{2n}+o(\frac{1}{n})$ où $\gamma = \lim H_n - \ln(n).$Cependant, en écrivant la transformation, deux termes parasites apparaissent : $-a_m\,H_{m-1}$ et $a_n\,H_n.$Peut-on arriver à les contrôler en utilisant l'hypothèse de convergence absolue de la série $\sum \Delta_n\,\ln(n)$ ?Merci pour vos solutions.
-
On a$$\dfrac{a_n}n = a_n(H_n - H_{n-1}) = a_{n+1}H_n - a_n H_{n-1} - (a_{n+1}-a_n) H_n$$donc effectivement, il suffit de montrer que la suite $(a_{n+1} H_n)$ est convergente pour conclure.On a$$a_{n+1} H_n = \sum_{p=n+1}^{+\infty} (a_{p+1}-a_p) H_n = \sum_{p=0}^{+\infty} \delta_{p\geq n+1} (a_{p+1}-a_p) H_n$$Quand $n$ tend vers $+\infty$, chaque terme tend vers $0$ et$$\forall n\in\N^*, |\delta_{p\geq n+1} (a_{p+1} - a_p) H_n|\leq |a_{p+1}-a_p| H_p$$qui est le terme général d'une série convergente par hypothèse.On en déduit que $a_{n+1} H_n$ converge vers $0$.Je n'ai pas plus simple à proposer et je trouve moral de transpirer un peu pour remplacer le théorème de sommation par paquets
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Bonjour!
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