Problème dans la démo?
Bonjour,
J’ai besoin de vos lumières sur un point qui me pose pb dans une démo où j’ai mis les photos en PJ.
J’ai besoin de vos lumières sur un point qui me pose pb dans une démo où j’ai mis les photos en PJ.
Je me demande s’il y a une erreur ou si c’est moi qui ne comprends pas quelque chose.
En haut de la deuxième photo, l’auteur a oublié de fermer une parenthèse : je ne sais pas s’il s’agit d’utiliser f(x_i(t+h)) (avec h dans R), ça collerait avec g_i’(t) si la limite existe ou s’il s’agit d’utiliser f(x_i(t)+h) avec h dans R^n. Dans ce cas là ça collerait avec la i ème dérivée partielle de f en x_i(t). Mais du coup l’égalité entre g_i’(t) et d_rond_i_f(x_i(t))) est-elle exacte? Ça me paraît suspect, d’autant que les preuves qui utilisent le même genre d’arguments sur Internet me semblent plus compliquées. S’il y a une erreur peut-on facilement la corriger sans refaire toute la preuve en changeant juste une petite chose? Je pensais faire ça à un oral mercredi de l’agrégation interne (et clairement le calcul diff n’est pas du tout ma tasse de thé!)
Merci d’avance pour la réponse.
En haut de la deuxième photo, l’auteur a oublié de fermer une parenthèse : je ne sais pas s’il s’agit d’utiliser f(x_i(t+h)) (avec h dans R), ça collerait avec g_i’(t) si la limite existe ou s’il s’agit d’utiliser f(x_i(t)+h) avec h dans R^n. Dans ce cas là ça collerait avec la i ème dérivée partielle de f en x_i(t). Mais du coup l’égalité entre g_i’(t) et d_rond_i_f(x_i(t))) est-elle exacte? Ça me paraît suspect, d’autant que les preuves qui utilisent le même genre d’arguments sur Internet me semblent plus compliquées. S’il y a une erreur peut-on facilement la corriger sans refaire toute la preuve en changeant juste une petite chose? Je pensais faire ça à un oral mercredi de l’agrégation interne (et clairement le calcul diff n’est pas du tout ma tasse de thé!)
Merci d’avance pour la réponse.
Réponses
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Le choix de notations est pour le moins déroutant : noter $x_i$ la fonction auxiliaire ad-hoc et aussi $x_i$ la $i$-ème variable pour l'écriture d'une dérivée partielle de $f$ est surprenant. A ta place, je changerait de nom de fonction auxiliaire ($X_i(t)$ à la place de $x_i(t)$ par exemple).Sinon, il s'agit bien de $f(x_i(t+h))$ et le taux d'accroissement présenté converge bien vers la dérivée partielle $\dfrac{\partial f}{\partial x_i}(x_i(t))$ : tu peux écrire la définition de cette dérivée partielle comme limite du taux d'accroissement qui va bien pour t'en convaincre.
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Ah oui en effet! J’aurais dû complètement écrire la def de la i-ème dérivée partielle. Merci JLapin pour ta réponse et pour le conseil avisé sur la notation peu convaincante.
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Par contre j’ai une autre question : pourquoi peut-on considérer les hi tous positifs ? (Pour pouvoir parler ensuite de l’intervalle [0; hi]).
Si hi était négatif, on se placerait sur [hi;0] et qd on applique le TAF on aurait un -hi. Du coup ça me pose un problème même si j’imagine que ça n’en est pas un mais j’aimerais comprendre où ça pêche dans mon raisonnement ou pourquoi ce n’est pas gênant de considérer hi positif. Merci bcp -
Les $h_i$ peuvent être négatifs. Celui qui a rédigé la preuve que tu étudies a eu la flemme de présenter l'intervalle $[\min(0,h_i),\max(0,h_i)]$ (à toi de voir si tu conserves ce choix) mais tu remarqueras qu'à la fin, se trouve bien un $|h_i|$ et pas un $h_i$ (après l'inégalité triangulaire).Par ailleurs, le choix d'une norme vérifiant $|h_i|\leq \|h\|$ est sous-entendu mais jamais explicité : je te suggère de le faire (en prenant par exemple la norme infinie) au moment où c'est utile (toutes les normes sur $\R^n$ sont équivalentes).Note qu'il n'y a pas d'erreur dans le TAF utilisé : plus généralement, si $f$ vérifie les hypothèses adaptées, $f(b)-f(a)$ peut bien s'écrire $(b-a)f'(c)$ avec $c$ compris entre $a$ et $b$ (que $a$ soit plus petit ou plus grand que $b$).
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Merci bcp JLapin pour ton retour. Je comprends bien que l’intervalle que tu donnes est le plus général mais du coup appliquer le TAF sur cet intervalle est un peu lourd et il vaut mieux faire une disjonction de cas avec hi négatif et hi positif. Pour hi positif pas de pb mais qu’en est-il pour hi négatif ? Au final j’ai toujours le problème du -hi qui apparaît (ou alors je n’ai pas compris).
Sinon oui j’avais vu la valeur absolue par la suite mais si hi était positif il me suffisait de la retirer et ce n’était pas un problème en soi du coup.Pour les normes, on peut prendre la norme infinie pour justifier ce que tu as fait remarquer à juste titre et utiliser l’argument d’équivalence des normes qui, si je comprends bien, permet de dire que quand on est en dimension finie et qu’on a établi un résultat avec une certaine norme permet de dire que ce résultat est encore vrai pour une autre norme. -
$f_i(h_i)-f_i(0) = f_i'(c_i)\times (h_i-0)$ avec $c_i$ entre $h_i$ et $0$ est toujours vrai dès que $h_i$ est non nul, que $h_i$ soit positif ou négatif. Le seul point litigieux (non traité par cette preuve d'ailleurs !) est le cas où $h_i=0$.
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Pour l'utilisation de l'équivalence des normes, tu peux aussi choisir de la mettre en place concrètement dans ta majoration finale, en présentant une constante $\alpha>0$ indépendante de $h$, telle que $\|h\|_\infty\leq \alpha \|h\|$.
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Merci JLapin c’est une bonne idée en effet de revenir à la définition de l’équivalence des normes, ça permet de bien voir que ça marche avec n’importe quelle norme du coup.Oui pour le TAF, en fait l’égalité est encore vraie même si hi négatif j’ai dit n’importe quoi.
Si hi est nul, ne suffit-il pas de dire que l’égalité du TAF reste vraie puisqu’on aurait alors 0=0 ? En quoi dis tu que ce serait donc litigieux? -
Tu ne peux pas dire qu'il existe $c_i$ dans l'intervalle ouvert $]0,0[$ vérifiant quoique ce soit ensuite...
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Du coup comment traiter proprement le cas hi = 0? Le TAF n’aura pas de sens donc pas de t_i ni de c_i issu du TAF mais dans la somme puisque les hi sont nuls, on sommerait des 0 donc on pourrait choisir c_i n’importe où dans l’ouvert donc en fait ça ne poserait pas de souci non?
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