Norme sur $\mathcal{C}^1([0,1],\mathbb R)$?

Zakariyae
Zakariyae
Modifié (November 2024) dans Analyse
Soit $E:=\mathcal{C}^1([0,1],\mathbb R)$ l'espace vectoriel des fonctions continûment dérivables. On pose,
$$\|f\| = \left(|f(0)|^2 + \int_0^1 |f'(t)|^2dt\right)^{\frac{1}{2}} \qquad\text{pour tout}\, f\in E.$$
Pour vérifier que $\|.\|$ est une norme sur $E$, j'ai vérifie les deux première propriétés d'une norme, et je me suis bloquer pour la troisième (c.à.d l'inégalité triangulaire).  Merci pour votre aide.

Si $f,g\in E$, alors $\|f+g\|^2 = |f(0)+g(0)|^2 + \int_0^1 |f'(t)+g'(t)|^2dt ... \leq (\|f\|^2+\|g\|^2)^2$?

Réponses

  • JLapin
    JLapin
    Tu peux utiliser l'inégalité de Cauchy-Schwarz pour établir l'inégalité triangulaire.
    Ou plus simplement, vérifier que ta norme est euclidienne, associée au produit scalaire
    $$(f,g)\mapsto f(0)g(0)+\int_0^1 f'(t)g'(t) dt.$$
    Il te suffira alors d'établir les axiomes d'un produit scalaire.
  • Zakariyae
    Zakariyae
    @ JLapin, oui en utilisant la notion du produit scalaire c'est simple, mais je n'est pas arriver à prouver sa en utilisant l'inégalité de Cauchy-Schwarz!
  • JLapin
    JLapin
    Elève au carré l'inégalité que tu souhaites démontrer.
  • Zakariyae
    Zakariyae
    Oui c'est ca ce que j'ai fait, si $f,g\in E$, alors on: $\|f+g\|^2 = |f(0)+g(0)|^2 + \int_0^1 |f'(t)+g'(t)|^2dt ... \leq (\|f\|^2+\|g\|^2)^2$?
    Mais à quelle passage on va appliquer l'inégalité de Cauchy-Schwarz?

  • bisam
    bisam
    Il s'agit d'appliquer l'inégalité de Cauchy-Schwarz associée à CE produit scalaire.
    Si tu essaies d'appliquer une autre inégalité de Cauchy-Schwarz, ça ne fonctionnera pas.
  • JLapin
    JLapin
    Zakariyae a dit :
    Oui c'est ca ce que j'ai fait, si $f,g\in E$, alors on: $\|f+g\|^2 = |f(0)+g(0)|^2 + \int_0^1 |f'(t)+g'(t)|^2dt ... \leq (\|f\|^2+\|g\|^2)^2$?
    Mais à quelle passage on va appliquer l'inégalité de Cauchy-Schwarz?

    Développe tes carrés un peu partout pour réduire l'inégalité à démontrer.
    Attention, tu dois démontrer une majoration par le carré de la somme des normes, pas par le carré de la somme des carrés des normes.

  • Zakariyae
    Zakariyae
    Modifié (November 2024)
    On a $\|f + g\| = \left(|f(0) + g(0)|^2 + \int_0^1 |f'(t) + g'(t)|^2 \, dt\right)^{\frac{1}{2}}$.  On a d'une part $|f(0) + g(0)|^2 \leq (|f(0)| + |g(0)|)^2$, d'autre part, l'inégalité de Minkowski donne $$ \int_0^1 |f'(t) + g'(t)|^2 \, dt \leq \left( \int_0^1 |f'(t)|^2 \, dt \right) + \left( \int_0^1 |g'(t)|^2 \, dt \right).$$Par conséquent, $$\|f + g\| \leq \left((|f(0)| + |g(0)|)^2 + \int_0^1 \left(|f'(t)|^2 + |g'(t)|^2\right) dt\right)^{\frac{1}{2}}.$$ Il y a un terme $2|f(0)| \,|g(0)|$ qu'il va apparaitre malheureusement!!
  • JLapin
    JLapin
    Tu te trompes lourdement sur l'inégalité de Minkovski. Par ailleurs, tu persistes à mettre des valeurs absolues autour de sommes que tu élèves au carré, ce qui t'empêche de développer ces carrés...
    Enfin, effectivement, l'inégalité $|f(0)+g(0)|^2\leq (|f(0)|+|g(0)|)^2$ est vraie mais ne te sera pas utile ici.
  • JLapin
    JLapin
    Modifié (November 2024)
    Aller, je suis bon prince : tu peux réduire l'inégalité que tu souhaites démontrer à
    $$f(0)g(0)+\int_0^1 f'g'\leq \sqrt{f(0)^2+\int_0^1f'^2}\sqrt{g(0)^2+\int_0^1 g'^2}.$$
    Tu peux montrer cette inégalité en montrant que
    $$f(0)g(0)+\sqrt{\int_0^1 f'^2}\sqrt{\int_0^1 g'^2}$$  est compris entre ces deux réels grâce à Cauchy-Schwarz intégral pour l'une des inégalités et Cauchy-Schwarz dans $\R^2$ pour l'autre.
  • Zakariyae
    Zakariyae
    Modifié (November 2024)
    Claire, merci beaucoup @ JLapin 
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