Equation différentielle "retardée"

Bonjour, 

Sait-on résoudre (explicitement ? qualitativement ?) l'équation différentielle retardée $g'(x)=\frac 12 g(x+\ln 2)$ ?

Merci d'avance, 
Michal

Réponses

  • Je n'ai pas regardé les résultats en détail mais tu trouveras peut-être quelques suggestions via cette recherche (ou une recherche similaire)

  • Cela suggère la transformée de Laplace.
  • YvesM
    Modifié (November 2024)
    Bonjour,
    On cherche des solutions sous la forme $g(x)=a^x$ sur un intervalle ouvert avec $a>0.$
    On reporte et il suffit que $\ln a=1/2 a^{\ln 2}$ dont une étude de fonction fournit les deux solutions $a_1=e=2,7(1)$ et $a_2=7,3(8)$. L’équation est linéaire et donc des solutions sont données par $g(x)=A_1 e^x+A_2 {a_2}^x$ sur un intervalle avec $A_1,A_2$ deux réels déterminés par les conditions aux limites ou initiales ou des raccordements entre intervalles. 
  • michal
    Modifié (November 2024)
    @YvesM

    Je ne pense pas que cela soit exact. Je vois volontiers un espace de solutions qui est de dimension infinie. On doit pouvoir partir d'une fonction à peu près quelconque (mais pas tout à fait quand même...) sur $[0,\ln(2)[$ et l'étendre à $\R$ en respectant la condition $g'(x)=\frac 12 g(x+\ln(2))$. Mais il est vrai que les fonctions de la forme $x \mapsto \alpha e^x+\beta e^{2x}$ sont solutions. 

  • En cherchant toutes les solutions de la forme $x\mapsto e^{zx}$ on tombe sur la fontion entiere $ f(z)=2^{z-1}-z$ qui a une infinite de zeros complexes $z=a+ib$, fournissant des solutions reelles de la forme $e^{ax} \cos bx$ ou $e^{ax} \sin bx$.
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