Arcs paramétrés et arcs géométriques

J'ai un petit souci avec ces deux notions. Une version courte des définitions que je connais est trouvable ici.

Dans un espace euclidien $E$, un "arc paramétré de classe $\mathcal{C}^k$" est une application $\gamma : I \longrightarrow E$ de classe $\mathcal{C}^k$ définie sur un intervalle $I$ de $\R$. Entre autres, un "arc" peut être un truc hyper irrégulier, il suffit que $k=0$ : on n'a plus que la continuité, et les fonctions continues nulle part dérivables ça existe, et elles ont des graphes très irréguliers.

Deux arcs $\gamma_1 : I \longrightarrow E$ et $\gamma_2 : J \longrightarrow E$ sont dits $\mathcal{C}^p$-équivalents s'il existe un difféomorphisme $\varphi : I \longrightarrow J$ de classe $\mathcal{C}^p$ tel que $\gamma_1 = \gamma_2 \circ \varphi$. Un "arc géométrique de classe $\mathcal{C}^p$" est une classe d'équivalence d'arcs paramétrés dans le quotient par la relation "être $\mathcal{C}^p$-équivalent".

Imaginons maintenant que je prenne justement pour $\gamma_1$ un de ces graphes d'une fonction $f$ continue nulle part dérivable : $E=\R^2$ et $\gamma_1(t) = (t,f(t))$, disons avec le paramètre $t$ dans $[0;1]$ (ou $]0;1[$... ce n'est pas très important je crois). Si maintenant je prends $\gamma_2(t) := (t/2,f(t/2))$ paramétré sur $[0;2]$, alors $\gamma_1(t) = \gamma_2(2t) = \gamma_2 \circ \varphi(t)$ avec $\varphi(t)=2t$. 

$\varphi$ est un gentil difféomorphisme de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ si je ne m'abuse. Donc mes deux arcs $\gamma_1$ et $\gamma_2$ sont $\mathcal{C}^{\infty}$-équivalents. Est-ce que l'arc géométrique correspondant (mon graphe hyper irrégulier) est un arc de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ pour autant ? Ça sous-entent quand même une certaine régularité, de dire ça, et pourtant, j'ai appliqué les définitions que j'ai sous la main.

Donc en fait j'ai plein de questions.

S'il existe un difféomorphisme $\varphi$ de classe $\mathcal{C}^k$ tel que $\gamma_1 = \gamma_2 \circ \varphi$, est-il unique ? Et s'il ne l'est pas : s'il existe $\theta \neq \varphi$ tel que $\gamma_1 = \gamma_2 \circ \theta$, $\theta$ est-il forcément aussi de classe $\mathcal{C}^k$ (dans le sens, PAS de classe $\mathcal{C}^l$ avec $l \neq k$) ? Parce que sinon, la définition d'un "arc géométrique de classe $\mathcal{C}^p$" telle quelle n'aurait pas de sens (à moins qu'il faut prendre pour $p$ le min de toutes les classes de régularité de difféomorphismes qui existent, ce qui n'est précisé nulle part).

Et même si le difféomorphisme (ou seulement sa classe de régularité) est unique. Si je reprends mon exemple, avec ma fonction $f$ continue et nulle part dérivable, j'ai donc deux arcs paramétrés de classe $\mathcal{C}^0$ qui seraient $\mathcal{C}^{\infty}$-équivalents. Ça ne me parait pas particulièrement cohérent. Mais dans la définition d'arcs $\mathcal{C}^p$-équivalents, il n'est pas précisé non plus que $p$ doit être majoré par les classes de régularité des arcs $\gamma_1$ et $\gamma_2$...

Il y a soit des raccourcis dans les définitions, soit je suis un peu bête. À voir. Comment est-ce que je dépatouille tout ça ? Merci de votre aide