Série numérique

zestiria
zestiria
Modifié (October 2024) dans Analyse

Réponses

  • zestiria
    zestiria
    Modifié (October 2024)
    1) Si $l$ est non nul, la  série $u_n$ tend vers $\frac{1}{2}$, la serie diverge grossièrement.
  • zestiria
    zestiria
    4) $u_n= \frac{1}{ 1 + \frac{a_{n-1}}{a_n}} = \frac{1}{2}  \frac{1}{ 1 - \frac {1}{2} ( 1 - \frac{a_n}{a_{n-1})})    }
    = \frac{1}{4} ( 1 - \frac{a_n}{a_{n-1}}) +o(   1 - \frac{a_n}{a_{n-1}}      ) $

    $u_n$ a même nature que $z_n= 1 - \frac{a_n}{a_{n-1}} $

    Ce n'est pas la résultat de la question 4. Qu'est-ce qui ne va pas ? Merci
  • JLapin
    JLapin
    Ton DL n'a pas lieu d'être si le terme dans le petit o ne tend pas vers $0$.
  • zestiria
    zestiria
    $u_n= \frac{v_n}{v_n+1}$
    Une condition nécessaire pour que la série $u_n$ converge, c'est $v_n$ tend vers $0$ , dans le cas contraire, on est assuré que $u_n$ ne tend pas vers $0$ et la série $u_n$ ne peut pas converger.

    Comme $v_n$ tend vers $0$ on peut faire un DL.
    $a_n= v_n- v_n^2 + o( v_n^2)$
    $a_n=v_n + o(v_n)$

    $a_n$ et $v_n$ sont équivalentes et donc ont même nature. Donc $a_n$ converge ssi $v_n$ converge.
  • zestiria
    zestiria
    Et pour la question 2) comment faut-il faire ? Merci
  • Boécien
    Boécien
    Modifié (October 2024)
    Si $\sum_{k=1}^{n}a_{k}$ diverge alors comme les $a_{n}$ sont positifs cela tend vers l'infini.

    Si $\sum_{k=1}^{n}\frac{a_{k}}{a_{k}+a_{k-1}}$ ne diverge pas comme les termes sont positifs ça converge et nécessairement $\frac{a_{n}}{a_{n}+a_{n-1}}\rightarrow0$ et donc

    $$\exists n_{0},\ n\geq n_{0}\Rightarrow\frac{a_{n}}{a_{n}+a_{n-1}}<\frac{1}{3}$$

    Soit

    $$n\geq n_{0}\Rightarrow a_{n}<\frac{1}{3}a_{n}+\frac{1}{3}a_{n-1}$$

    En sommant

    $$\sum_{n=n_{0}}^{N}a_{n}<\frac{1}{3}\sum_{n=n_{0}}^{N}a_{n}+\frac{1}{3}\sum_{n=n_{0}-1}^{N-1}a_{n}\leq\frac{2}{3}\sum_{n=n_{0}-1}^{N}a_{n}$$

     Et donc

    $$\sum_{n=n_{0}}^{N}a_{n}<\frac{2}{3}\sum_{n=n_{0}-1}^{N}a_{n}$$

    Comme $\sum_{n=n_{0}-1}^{N}a_{n}\rightarrow\infty$ il vient $1<\frac{2}{3}$ et une contradiction.

  • zestiria
    zestiria
    Merci @Boécien , j'ai compris la démonstration.
  • lale
    lale
    A partir de $a_n<\frac{1}{3}a_n+\frac{1}{3}a_{n−1}$ ,on obtient $a_n\leq \frac {a_{n-1}}{2 }$ .  cela suffit à conclure (comparaison à une série géométrique convergente )
  • zestiria
    zestiria
    Merci @lale, c'est plus rapide.
  • Boécien
    Boécien
    Modifié (October 2024)
    Plus rapide? Si on rédige proprement en tenant compte du $n_0$ etc. c'est kif kif. J'ai voulu garder l'esprit de la divergence de la série avec $a_n$ pour conclure. J'aime pas les doubles contradictions.
  • lale
    lale
    Ce n'est pas une double contradiction ,c'est montrer que si $\Sigma  u_n$ converge  alors $\Sigma a_n $ converge 
    et même si $(u_n)$ tend vers 0 alors $\Sigma a_n $ converge 
  • bisam
    bisam
    Pour la question 2, si la série de terme général $u_n$ converge alors, d'après 1), $a_n$ tend vers 0 et on peut alors écrire que $a_n=o(u_n)$, ce qui permet de conclure que la série de terme général $a_n$ converge également et donc de répondre à la question par contraposée.
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