
pavage d'un polygone à l'aide de losanges

dans Géométrie
Bonjour,
j'ai appris récemment que la pyramide du Louvre était pavée de carreaux en verre constitués de losanges et triangles. Je me suis donc demandé quels étaient les polygones qu'on pouvait paver de losanges identiques.
Prenons déjà le cas d'un triangle équilatéral. Quels sont les losanges à envisager ? Cela est-il possible ? Est-il inévitable de compléter par des triangles si besoin ?
Un premier cas de losange possible est la juxtaposition de deux "petits" triangles équilatéraux. Que dire dans ce cas ? Des rajouts de ces "petits" triangles sont-ils forcément nécessaires pour paver en totalité le triangle équilatéral ? Quels sont alors les pavages avec le minimum de "petits" triangles possible, en fonction de la taille du "petit" triangle ? Parmi ces pavages, peut-on trouver un pavage symétrique ?
Et si on s'extirpe du cas d'un triangle équilatéral, Existe-il des triangles pavables par des losanges ?
J'attends vos réponses avec impatience.
Réponses
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Dans mes questionnements, j'ai observé qu'un hexagone régulier était pavable par des losanges identiques. Je vous laisse déterminer un tel pavage.
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Pour l'hexagone régulier, on trace les segments qui relient les sommets, le pavage en losanges saute aux yeux.Sinon, cela ne me parait pas possible de paver un triangle équilatéral avec des losanges, parce qu'à chaque étage il y a un nombre impair de petits triangles qu'il faut lier deux par deux pour faire un losange (en commençant par l'étage du bas).
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Sinon voici des exos de Te STD2A :
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Si tu paves un triangle équilatéral avec d'autres triangles équilatéraux, les uns vers le haut et les autres vers le bas, il n'y a pas le même nombre de vers le haut que de vers le bas. Donc déjà il faut chercher des pavages d'un autre type qu'un pavage découpable à nouveau en triangle équilatéraux identiques. Il n'y en a pas, pour le voir on part d'un des sommets, on pas le choix, il faut mettre un petit triangle, on se convainc facilement que l'arête intérieure doit aussi être celle d'un autre, et cela force aussi les bords de proche ne proche.
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Serait-il possible d'avoir une démonstration plus formelle sur cette impossibilité ?Et concernant l'ajout de triangles pour paver, combien de losanges peut-on utiliser au maximum en fonction du petit triangle choisi ? combien de pavages sont possibles ? Existe-t-il des pavages symétriques ?Concernant le pavage de polygones réguliers par des losanges, je suis tombé sur le post suivant sur un forum : https://math.stackexchange.com/questions/2127476/looking-for-references-about-a-tessellation-of-a-regular-polygon-by-rhombuses.Sauf que les losanges ne sont pas tous identiques : ils ont le même périmètre, mais d'angle aigu en progression arithmétique.Je suis également tombé sur un article concernant la triangulation de polygones réguliers à l'aide de triangles semblables : https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0925772120300845.Auriez-vous d'autres références à me faire part, concernant ce type de questions ?
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Précisons la situation. Je note $\ell$ la longueur d'un côté du triangle équilatéral $T$ qu'on veut décomposer et $c$ la longueur d'un côté du losange $L$ d'angles $\dfrac{\pi}{3},\dfrac{2\pi}{3},\dfrac{\pi}{3},\dfrac{2\pi}{3}$ qui est donc la superposition de deux triangles équilatéraux $t$ et $t'$ de côté égal à $c.$ On a nécessairement $\ell = n\,c$ avec $n \in \mathbb{N}^*.$
- Quel est le nombre maximum de losanges identiques à $L$ qu'on peut utiliser en fonction de $n$ pour paver à l'aide de tels losanges et de triangles congrus à $t$ ?
- Combien de tels pavages en fonction de $n$ sont possibles ?
- Existe-t-il des pavages symétriques ? A quelle condition sur $n$ ?
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Bonsoir,Je me suis amusé, il y a quelque temps, à rechercher des pavages de ce type et j'en ai trouvé plusieurs pour l'ennéagone. En voici quelques échantillons (en plus de celui de mon avatar !) :Comme tu peux voir, j'essaie d'utiliser les points d'intersection des diagonales pour les sommets des tesselles, et d'obtenir comme tesselles des losanges et des triangles ou d'autres polygones dont les côtés sont égaux à ceux de l'ennéagone de départ ...Si cela t'intéresse, j'en ai d'autres !Bien amicalement, JLB
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Très belles figures @jelobreuil ! Ma question porte en fait sur la possibilité de paver qu'avec un seul type de losange, mais mis à part l'hexagone, cela est-il possible ?Pour en revenir à ma question du triangle équilatéral, j'ai le sentiment que si on le découpe en $n^2$ triangles équilatéraux identiques et qu'on cherche à faire apparaître le plus de losanges possibles, il restera nécessairement $n$ triangles "solitaires". Mais je ne vois pas comment l'établir pour le moment. Intuitivement, je me disais qu'il fallait nécessairement un triangle laissé pour compte par ligne. Mais, il y a des pavages qui ne correspondent pas à cette situation.Je vous joins l'image suivante à titre d'exemple pour $n=6.$ L'idée était de générer un pavage symétrique donc de positionner les triangles de manière symétrique. On doit pouvoir faire de même si $n$ est un multiple de $3.$
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@canasson29 remarque que les triangles ont tous le même sens, la réponse à ta question se situe là
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Bonne nuit @canasson29Cette figure te convainc-t-elle ? Je te laisse écrire le raisonnement qui prouve ce que tu as conjecturé ...Bien amicalement, JLB
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Déjà dit par un autre intervenant...
Si tu découpes ton grand triangle en plein de triangles équilatéraux, il y en a plus avec la pointe en haut qu'avec la pointe en bas.
Et chacun de tes losanges peut être divisé en 2 triangles équilatéraux : un avec la pointe en haut, et l'autre avec la pointe en bas.
cqfd.Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
L'hypocrisie est pire qu'une vérité qui fait mal. Franck Ntasamara. -
@jelobreuil : c'est un cas particulier que tu donnes. Qui dit qu'il n'y a pas une configuration plus complexe avec moins de triangles ? A moins de dire : je fais migrer en bas les triangles ? c'est à cela que tu veux me faire aller ?@lesmathspointclaires @lourrran : la pédagogie ou l'art de la répétition ! en somme $(n+1)n/2$ triangles hauts et $n(n-1)/2$ triangles bas donc au plus $n(n-1)/2$ losanges donc au moins $(n+1)n/2-n(n-1)/2=n$ triangles ?
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canasson29 a dit :Serait-il possible d'avoir une démonstration plus formelle sur cette impossibilité ?
i) Pour ce que qui concerne l'impossibilité de paver par des "gentils losanges" (i.e. losange union de deux triangles équilatéraux), on se convainc facilement que c'est impossible en remarquant que le coin du triangle équilatéral force un losange au bout, et ensuite sur chacune des deux lignes cela force encore un losange, et en restant sur ces lignes on a une suite de losange forcée qui ne s'arrête que lorsqu'il ne reste plus qu'un triangle équilatéral.
ii) Pour ce qui concerne le résultat plus précis que : le seul pavage d'un triangle équilatéral par d'autre triangles équilatéraux élémentaires d'aire 1 est le "pavage classique" . Il s'agit d'abord de définir pavage classique (0) (par exemple comme sous-pavage d'un pavage du plan invariant sous l'action d'un certain groupe de symétrie (en l'occurrence le groupe diédral $D_3$ isomorphe à $S_3$). On peut alors utiliser le même type d'argument qu'en i) en montrant que chaque sommet du pavage ne peut pas être autre chose que l'intersection de trois droites d'angle chacune $pi/3$ avec l'autre (1), on peut alors montrer que la droite la plus proche de chaque sommet sur lequel il n'est pas est nécessairement parallèle à une des trois droites auxquelles il appartient (2). On en déduit par transitivité du parallélisme que toute arête est parallèle à une arête du grand triangle. Fixons une des trois directions, on se convainc facilement (3) : que l'ensemble des droites qui ont cette direction et qui porte au moins une arête élémentaire est équitablement réparti, i.e. la distance entre deux droites consécutives est la même, on peut alors suivant la définition qu'on a donné à "pavage classique" ou bien conclure tout de suite, ou bien (4) mobiliser un argument "trivial" du genre se placer dans un repère affine adéquat et conclure.
iii) une fois ii) établi, on peut démontrer (par récurrence par exemple) que l'aire du grand triangle est forcément un carré, et que le nombre de triangles up et de triangle down diffère de $n$, où $n$ est le tiers du périmètre du grand triangle. (indication possible : la somme des $n$ premiers entiers impairs est $n^2$) -
Comme tu l'as fait remarquer, pour remplir le triangle équilatéral avec un nombre entier de petits triangles équilatéraux, il faut découper le triangle équilatéral en $n$ étages, comportant de $1, 3, 5, \cdots, 2n-1$ triangles équilatéraux, soit un total de $n^2$ petits triangles.1) impossibilité de le remplir avec des losanges, EDIT : constitués de deux triangles équilatéraux :Alors, il faut que le côté du losange soit celui d'un petit triangle équilatéral (vu le losange remplissant un coin du triangle), et que les petits triangles soient appariés 2 par 2. Puis, pour ne pas laisser le triangle en bas à gauche seul, il faut l'apparier avec le 2ème triangle en bas en partant de la gauche, même raisonnement avec le 3ème triangle en partant de la gauche qui doit être apparié avec le 4ème, on continue ainsi jusqu'au bout de la rangée, le dernier triangle ne peut pas être apparié, d'où l'impossibilité.2) combien de losanges au maximum : il y en a au plus $n(n-1)/2$ (vu plus haut), et au moins $n(n-1)/2$ (avec la même procédure que celle décrite juste avant, étage par étage), donc il y a un maximum de $n(n-1)/2$ losanges.
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Sinon, on ne peut remplir un polygone régulier à $n$ côtés avec des triangles équilatéraux que pour $n=3$ ou $n=6$.En effet, dans un polygone à $n$ côtés, l'angle au centre est $\dfrac{2 \pi} {n}$, donc les angles du polygone sont $\dfrac{ (n-2)\pi} {n}$. Pour remplir un angle du polygone avec des angles de triangles équilatéraux, il faut qu'il existe un entier $k$ tel que $\dfrac{ (n-2)\pi} {n}=\dfrac{ k\pi} {3}$, donc $n | 6$.
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J'ai rectifié mon message plus haut : on peut envisager de remplir un triangle équilatéral avec des losanges non constitués de 2 triangles équilatéraux, par exemple d'angles $\dfrac {\pi}{6}$ et $\dfrac {5 \pi}{6}$.Mais j'ai l'impression que cela ne marche pas non plus : si on commence à tapisser le coin en haut du triangle avec ces losanges, puis en descendant vers le bas, on va se retrouver en bas de toute façon avec des triangles.
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Bah beaucoup plus simple et général : la somme des angles d'un triangle est $\pi$, celle des angles des losanges est un multiple de $2 \pi$ : on ne peut remplir aucun triangle avec des quadrilatères quels qu'ils soient.
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Si on prend un triangle ABC, un point M quelconque à l'intérieur de ce triangle, et on relie ce point M aux 3 segments AB , BC et CA (les milieux des segments par exemple). On a bien découpé le triangle en 3 quadrilatères.Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
L'hypocrisie est pire qu'une vérité qui fait mal. Franck Ntasamara. -
Ah j'ai oublié les angles sur les côtés du triangle, dont la somme est seulement un multiple de $\pi$. Bien vu.
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Non ce n'est pas possible de remplir un triangle équilatéral avec des losanges identiques, parce que quelle que soit la façon dont on remplit un coin avec un ou plusieurs losanges, on est obligé de continuer en ligne droite le long des côtés du triangle, et on ne peut plus remplir les deux autres coins pour une raison d'angles.
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Pour revenir à la question de départ.On peut paver un carré avec des losanges ( carrés ) et on peut aussi paver un octogone régulier avec des losanges.
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Bonjour à tous,Je pense qu'on peut aussi paver tous les polygones réguliers d'ordre pair avec des losanges équilatères, dont tous les sommets intérieurs sont des points d'intersection de diagonales du polygone de départ ...Ci-dessous les cas du dodécagone et du tétradécagone :Pour le dodécagone, le pavage comporte trois carrés, six losanges (quatre verts et deux jaunes) d'angles pi/3 et 2pi/3, et six losanges (cinq rouges et un jaune) d'angles pi/6 et 5pi/6.Pour le tétradécagone, le pavage comporte 21 losanges en trois groupes de sept, les rouges d'angles pi/7 et 6pi/7, les bleus d'angles 2pi/7 et 5pi/7, et les verts ou jaunes, d'angles 3pi/7 et 4pi/7.Ce genre de pavage permet de retrouver des formules donnant les aires de ces polygones ...Bien cordialement, JLB
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Et voici l'octadécagone, en plus classique ...
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@jelobreuil Joli ! Je remarque que seuls certains points d'intersection des diagonales sont utilisés. Mais lesquels ? Et cette décomposition en losanges est-elle unique ?Qu'appelles-tu losange équilatère ?
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Et on peut articuler la figure :(l'aire est maximale pour l'octadécagone régulier)
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@Julia Paule Bonjour, et merci du compliment !J'entends par "losanges équilatères" (expression nécessairement au pluriel) un ensemble de losanges dont les côtés ont la même longueur dans tous les losanges, longueur qui est ici celle du côté du polygone régulier à paver.Non, cette décomposition n'est sans doute pas unique, dans la mesure où l'on peut en dessiner de semblables pour le dodécagone et le tétradécagone, avec des rangées de losanges dont les angles diffèrent d'une rangée à l'autre. C'est assez facile à faire. De même, on peut paver l'octadécagone autrement que je l'ai fait, il suffit de choisir un autre emplacement pour les losanges les plus étroits ... Il faut aussi voir que les côtés de tous les losanges sont chacun parallèles à deux côtés, opposés l'un à l'autre, du polygone régulier ...Quant aux points d'intersection des diagonales à utiliser, personnellement, je les choisis par la méthode "essais/erreurs", je n'ai pas cherché à systématiser les choses ...Merci @Ludwig pour cette animation !Bien cordialement, Jean-Louis B.
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Bonjour @jelobreuil,ta dernière décomposition est donnée de manière générale pour un $2n-$gone régulier sur le forum dont j'avais mis un lien précédemment. L'auteur du post parle de sommet source, l'angle aigu du "flot" de losanges étant égal à $k\pi/n$ avec $k$ variant de $1$ à $(n-1).$Pour quels $2n-$ gones réguliers, tous ces angles sont indispensables pour paver le polygone régulier avec des losanges de côté égal ?Bien cordialement.
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En effet, @canasson29, j'avais déjà regardé ce lien, mais hier je ne m'en souvenais plus ...Pour répondre à ta dernière question, je conjecture que quelle que soit la disposition relative des losanges dans le polygone, on a besoin de losanges de tous les types possibles pour paver complètement le polygone, mais je ne saurais pas en faire une démonstration rigoureuse ... Je pense qu'une telle démonstration pourrait (devrait ?) faire intervenir la formule de sommation donnée dans ton lien pour l'aire du polygone ...Bien cordialement, JLB(modification)Voici par exemple un autre pavage de l'octadécagone, avec le même nombre de losanges de chacun des quatre types.Mais il y a là un léger défaut : les deux sommets les plus proches du centre de l'octadécagone ne se trouvent pas à l'intersection d'une paire de diagonales ...
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Bonjour!
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