Exercice sur les ensembles

Yanel
Yanel
Modifié (October 2024) dans Fondements et Logique
Bonjour , je pense que cette  application a $E$ comme ensemble de depart et pas $P(E)$. Confirmez-vous ma remarque?

Réponses

  • JLapin
    JLapin
    Non, je ne la confirme pas. Regarde ce que tu fais avec X pour calculer l’image…
  • Yanel
    Yanel
    Modifié (October 2024)
    Mais si  $A=\varnothing$  ET $B=\varnothing$  cet application est surjective , au minimum de chose il faut signaler que $A$ ou $B$  est non vide 
  • Héhéhé
    Héhéhé
    Modifié (October 2024)
    .
  • Héhéhé
    Héhéhé
    Si $A=B = \varnothing$ alors $f(X) = (X,X)$ pour tout $X \subset E$ donc $f$ va avoir du mal à être surjective...
  • Yanel
    Yanel
    @ Je n ai pas compris ta remarque 
  • JLapin
    JLapin
    Modifié (October 2024)
    Peux-tu trouver un antécédent par $f:X\mapsto (X,X)$ du couple $(\emptyset, E)$ ?
  • Yanel
    Yanel
    Merci infiniment 
  • Yanel
    Yanel
    Modifié (October 2024)

    je propose la reponse suivante :smile:
     $A\in P(E)$ et $B\in P(E)$ non vide de $P(E)$ .Soient $Y\in (P(E)-A)$ et $Z\in (P(E)-B)$ .  Alors (Y, Z) n'admet pas d'antécédents d'où $f$ n'est pas injective. Que pensez vous de ma solution?
  • Soc
    Soc
    Oui, à part une coquille sur "injective". En plus simple le "vide" (à bien écrire) n'a pas d'antécédent.
    The fish doesnt think. The Fish doesnt think because the fish knows. Everything. - Goran Bregovic
  • JLapin
    JLapin
    Yanel a dit : Que pensez vous de ma solution?

    Que plutôt que de donner une forme trop générale de couple qui n'a pas d'antécédent, tu devrais en proposer un plus explicite afin d'éviter l'introduction de trop de lettres superflues.
  • bisam
    bisam
    Quand on veut donner un contre-exemple, on doit le faire de façon explicite pour deux raisons : la première, c'est que c'est souvent bien plus simple de donner UN exemple que de les donner TOUS, et la deuxième, c'est que très souvent, en voulant donner plein de contre-exemples... on en donne qui n'en sont pas.

    Ici, @Yanel, ta preuve est complètement fausse car tu mélanges les objets et leurs statuts.
    - $A$ est une partie de $E$ donc $A\in P(E)$ mais on n'a pas $A\subset P(E)$.
    - Tu ne peux pas déclarer "Soit $A\subset P(E)$" car $A$ a déjà été fixé par l'énoncé. Tu n'as pas la possibilité de le choisir !
    - Puisque $A$ n'est pas une partie de $P(E)$ mais une partie de $E$, l'ensemble $P(E)-A$ n'a pas vraiment de signification.
    - Même si on admet qu'il a une signification, je pense que ce n'est pas ce que tu voulais dire lorsque tu as dit prendre $Y$ inclus dans $P(E)-A$.

    Bref, tout est à revoir !

    Par ailleurs, attention, pour traiter tous les cas, il te faudra au moins deux contre-exemples.
  • Thierry Poma
    Thierry Poma
    @Yanel : bonsoir. Je te remercie,
    • de poster ces interventions dans la bonne catégorie ;
    • de poursuivre un fil qui a déjà fait l'objet d'une première ouverture, ce qui est manifestement le cas ici.
    Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).
  • Yanel
    Yanel
    Merci à vous tous 
  • Foys
    Foys
    Supposons que la fonction en question soit surjective. Montrer dans un premier temps que $A = B = \emptyset$.
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Yanel
    Yanel
    @Foys @Thierry Poma @bisam @JLapin @Soc  j'attends vos avis

    ttends vos avis
  • Foys
    Foys
    Bien vu!
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • JLapin
    JLapin
    Cela me semble satisfaisant.
    Tu pourrais remplacer "on peut prendre $A\neq \emptyset$" par "sans perte de généralité, on peut supposer que $A\neq \emptyset$", voire par "l'un des deux ensembles $A$ et $B$ est non vide" puisque tu ne rédiges rien de précis ensuite qui utilise que $A$ est non vide.
  • Yanel
    Yanel
    Merci 

  • Soc
    Soc
    C'est juste, mais j'aurais simplifié un peu en disant: si les deux sont vides, (vide,E) n'a pas d'antécédent, dans le cas contraire (vide,vide) n'a pas d'antécédent.
    The fish doesnt think. The Fish doesnt think because the fish knows. Everything. - Goran Bregovic
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