Perron-Frobenius : valeurs propres non-dominantes?

Lucas
Lucas
dans Algèbre
Bonjour à tous et toutes,

Le Théorème de Perron-Frobenius dit, entre autres, la chose suivante. Si $A$ est une matrice à coefficients $\geq 0$ irréductible apériodique (cela va assurer que $A^n$ est à coefficients $>0$ pour tout $n$ assez grand)
(1) La valeur propre de plus grand module est réelle, appelons-là $\lambda$ ;
(2) Il existe un vecteur propre associé à $\lambda$ dont toutes les composantes sont $>0$.
(3) L'espace propre associé à $\lambda$ est de dimension $1$.

Est-ce que vous savez s'il est possible qu'il existe, sous les mêmes hypothèses, une autre valeur propre $0<\mu <\lambda$ avec un vecteur propre positif? J'aimerait que ce soit impossible, mais ça me paraît un peu gros.

Réponses

  • dSP
    dSP
    Dans le cas de base où $A$ est à coefficients strictement positifs tous les vecteurs propres du cône $(\R_+^*)^n$ sont colinéaires. Si les hypothèses font que $A^k$ est à coefficients strictement positifs pour un $k$ assez grand, alors la réponse est aussi négative.
  • Lucas
    Lucas
    @dSP : Pour être sûr de bien comprendre : là tu parles des vecteurs propres associés à $\lambda$? Alors oui je suis d'accord mais pour d'éventuelles valeurs propres plus petites?
  • dSP
    dSP
    Non, je parle bien d'autres valeurs propres.
  • Lucas
    Lucas
    Ah mais c'est super ça, c'est trivial et j'ai raté un truc ou c'est profond? C'est écrit quelque part?
  • dSP
    dSP
    Astuce simple et classique : prendre un vecteur propre "de Perron" pour la matrice transposée, former le produit scalaire de ce vecteur avec un vecteur propre quelconque du cône positive $(\R_+^*)^n$ et en déduire une information sur les valeurs propres associées.
  • Lucas
    Lucas
    Mais c'est bien sûr, et c'était simple en plus. Merci infiniment!
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