$\exists$ dans $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$

Lolo36
Lolo36
dans Fondements et Logique
Bonjour, 

Je prends $\overline{k}$ dans $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ donc $\overline{k} = \{k + ln \mid l \in \mathbb{Z}\} = \{k + ln \mid \exists l \in \mathbb{Z}\}$. Je ne comprends pas pourquoi on omet le symbole "$\exists$" et pourquoi ce n'est pas le symbole "$\forall$" qui est utilisé puisque $l$ parcourt tout $\mathbb{Z}$.
Merci.
Les mathématiques forment la base canonique de notre monde. Tout le reste en découle.

Réponses

  • Foys
    Foys
    $\{k + ln \mid l \in\Z\}$ est une abréviation de $\{x \mid \exists l\in \Z, x = k+ln\}$.

    ##################

    Ci-après, on explique comment traduire un énoncé comportant des écritures de type $\{A |B\}$ en énoncés équivalents où il n'y en a pas (c'est un algorithme $P \mapsto P^*$ décrit au 2°) et dont la terminaison ne pose pas de problème).

    0°) si $a,b,c$ sont trois lettres, $a[b:=c]$ désigne $a$ si $a$ est différent de $b$, et $c$ si $a$ et $b$ sont les mêmes.

    1°) Etant donnés deux lettres $x,y$ et un énoncé $F$ (sans $\{...|...\}$) on définit $F[x:=y]$ comme étant
    (i) étant données deux lettres $a,b$, $(a \in b)[x:=y]$ est $a[x:=y] \in b[x:=y]$; et $(a = b)[x:=y]$ est $a[x:=y] = b[x:=y]$
    (ii) $(\neg E)[x:=y]$ est $\neg \left (E[x:=y] \right)$
    (iii) si $\Box$ est l'un des symboles $\Rightarrow, \Leftrightarrow, \vee, \wedge$, $(C \Box D)[x:=y]$ est $(C[x:=y] \Box D[x:=y])$
    (iv) si $Q$ est l'un des deux symboles $\forall, \exists$ et $F$ est de la forme $QzG$ avec $z$ une lettre;
    -si $x=z$ alors $QzG[x:= y]$ est $QzG$ lui-même.
    -si $x \neq z$ et $y = z$, on prend une lettre $t$ distincte de $x$ et $y$ et qui ne figure pas dans $G$ puis on définit $QzG[x:= y]$ comme étant $Qt\left ( H[x:= y]\right)$ où $H$ désigne $G[z:= t]$
    -si $x \neq z$ et $y \neq z$, $QzG[x:= y]$ est $Qz \left (G[x:= y] \right)$

    2°) Etant donné un énoncé $P$ (contenant éventuellement des écritures de la forme $\{a \mid F\}$ où $a$ est une lettre), on définit un nouvel énoncé $P^*$ de la façon suivante:

    (i) si $a,b$ sont des lettres, $(a \in b)^*$ est $a \in b$ et $(a = b)^*$ est $a = b$
    (ii) $(\neg Q)^*$ est $\neg (Q^*)$; si $\Box$ est l'un des symboles $\Rightarrow, \Leftrightarrow, \vee, \wedge$, $(R \Box S)^*$ est $(R^*) \Box (S^*)$
    (iii) pour toute lettre $x$, $(\forall x T)^*$ est $\forall x (T^*)$ et  $(\exists x T)^*$ est $\exists x (T^*)$. 

    (iv) 
    -si $x,y$ sont des lettres et $P$ un énoncé, $\left (y \in \{x \mid P\}\right)^*$ est $P^*[x:=y]$
    -si $A,B$ sont des lettres ou des expressions de la forme $\{... \mid ...\}$, et ne sont pas tous les deux des lettres (sinon cf. 2.(i)); $(A = B )^*$ est $\forall u\left ( (u \in A)^* \Leftrightarrow (u \in B )^* \right)$, où $u$ est une lettre qui ne figure ni dans $A$, ni dans $B$.
    -si $F$ est un énoncé, $v$ une lettre et $X$ une lettre ou bien une expression de la forme $\{y | G\}$, $(\{v \mid F\} \in X)^*$ est $\exists w \left ( (w = \{v  \mid F\})^* \wedge (w \in X)^*\right)$ où $w$ est une lettre ne figurant ni dans $X$ ni dans $\{v \mid F\}$
     
    3°) $\exists x \in A, P$ et $\forall y \in B, Q$ sont des abréviations respectives de $\exists x (x \in A \wedge P)$ et de $\forall x (x \in B \Rightarrow Q)$

    4°) un "terme" est une lettre ou une expression de la forme $\{x \mid P\}$ avec $x$ une lettre et $P$ un énoncé.

    5°) Soient  $T,A_1, ..., A_n$ des termes (avec $T$ qui n'est pas une lettre) et $x_1,...,x_n$ des lettres. Alors $\left \{T\mid x_1 \in A_1, x_2 \in A_2,...,x_n \in A_n\right\}$ est une abréviation du terme $\left \{y \mid \exists x_1\in A_1, \exists x_2 \in A_2, ... \exists x_n \in A_n, y =  T \right \}$

    Remarque: étant donné un  terme $T$ et une lettre $u$ ne figurant pas dans $T$, l'énoncé "$\exists u (u = T)$" se lit "$T$ est un ensemble". Un théorème célèbre de Russell affirme que $\{x \mid x \notin x\}$ n'est pas un ensemble ($a \notin b$ étant une abréviation de $\neg (a \in b)$).

    NB: le théorème de Russell s'écrit formellement $\neg \left ( \exists y , y = \{x \mid x \notin x\}\right)$, et après la traduction du 2°) cet énoncé devient $\neg \left (\exists y, \forall z, z \in y \Leftrightarrow (\neg z \in z)\right)$.

    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • bisam
    bisam
    On peut aussi dire que $\{k+ln, l\in\Z\}$ est l'écriture in extenso (ou en extension) de l'ensemble, décrivant un par un la totalité des éléments de l'ensemble, tandis que $\{x, \exists l\in\Z, x=k+ln\}$ est une écriture en compréhension qui décrit l'ensemble comme un ensemble d'éléments vérifiant une certaine propriété.
  • Math Coss
    Math Coss
    Il n'en est pas moins vrai que pour tout $l\in\Z$, l'entier $k+ln$ appartient à $\overline k$...
  • Lolo36
    Lolo36
    Effectivement, mais je pense que le $\exists$ colle bien avec la notion de congruence dans le sens où $k \equiv k' \pmod n \iff \exists l \in Z, k = k' + ln$. Une variable $k$ ne prend qu'une seule valeur à la fois.
    Les mathématiques forment la base canonique de notre monde. Tout le reste en découle.
  • JLapin
    JLapin
    Modifié (October 2024)
    Il n'empêche que l'écriture suivante que tu proposes n'a pas de sens.
    Lolo36 a dit :
     $\overline{k} =\{k + ln \mid \exists l \in \mathbb{Z}\}$.
    J'espère que tu en es conscient car c'est très très important pour la suite de ta formation mathématiques.

  • zeitnot
    zeitnot
    Bonjour @Lolo36,
    un petite test : comment écrirais-tu l'ensemble des nombres pairs de manière propre ? (Il n'y a pas de piège, c'est pour être sûr que tu as bien compris les remarques faites.)
    Cordialement.
    Comme me l'a appris ma maîtresse de CE2, tata Suzanne, dite Susu, $\{l,é,o\} \cap \{t,o,t,o\}=\{o\}$
  • Lolo36
    Lolo36
    JLapin a dit :
    Il n'empêche que l'écriture suivante que tu proposes n'a pas de sens.
    Lolo36 a dit :
     $\overline{k} =\{k + ln \mid \exists l \in \mathbb{Z}\}$.
    J'espère que tu en es conscient car c'est très très important pour la suite de ta formation mathématiques.

    Pas de sens parce qu'il manque le prédicat après le il existe je suppose ?
    Les mathématiques forment la base canonique de notre monde. Tout le reste en découle.
  • Lolo36
    Lolo36
    zeitnot a dit :
    Bonjour @Lolo36,
    un petite test : comment écrirais-tu l'ensemble des nombres pairs de manière propre ? (Il n'y a pas de piège, c'est pour être sûr que tu as bien compris les remarques faites.)
    Cordialement.
    Je dirais $2\mathbb{Z} = \{2k | k \in \mathbb{Z}\} = \{x | \exists k \in \mathbb{Z}, x=2k \}$.
    Les mathématiques forment la base canonique de notre monde. Tout le reste en découle.
  • JLapin
    JLapin
    Lolo36 a dit : Pas de sens parce qu'il manque le prédicat après le il existe je suppose ?
    Le but de ces petits exemples fondamentaux n'est pas de réparer une écriture qui n'a pas de sens mais
    1) de reconnaître qu'une écriture donnée n'a pas de sens (en général, il suffit de le lire en français pour constater que c'est du charabia) ;
    2) de ne produire que des écritures qui ont du sens (ce qui est bien le cas pour les deux écritures que tu proposes de $2\Z$.

  • Lolo36
    Lolo36
    OK parfait merci bien.
    Les mathématiques forment la base canonique de notre monde. Tout le reste en découle.
  • lesmathspointclaires
    lesmathspointclaires
    Modifié (October 2024)
    L'ensemble peut s'écrire $\left\{x,\exists l, x=p(l)\right\}=\bigcup_{l\in \mathbb N}\left\{p(l)\right\}$
    Si on voit $\exists$ comme un "ou" c'est juste le morphisme d'algèbre de Boole qui associe disjonction à union ( je ne sais pas à quel degré cette remarque est "informelle" ...je serai satisfait d'être renseigné sur ce point par un des nombreux experts de la catégorie, ce qui est certain c'est que la conjonction et disjonction infinies sont bien définies et que c'est peut-être sur la notion de variable que l'informel se niche...), et comme @Math Coss le souligne, l'autre partie de la question de @Lolo36 parle du quantificateur universel, et se traduit par le fait que $\forall l\in Z, p(l)\in \left\{p(l), l\in Z\right\}$   et si on "remplace" les quantificateurs par des "grands et/ou" on obtient la traduction de la tautologie (a et b et ...) implique (a ou b ou ...).


    Note informelle
    J'ai écrit "grands et/ou" car j'hésitais entre "et" et "ou" pour "/", à part que ça aurait fait plus de guillemets cette hésitation est relative au langage courant dans lequel "et " et  "ou" sont souvent identifiés (j'ai hésité à écrire "et" ou "ou" sont souvent employés indifféremment : j'insiste sur le fait que "et/ou" ne signifie pas "ou inclusif" mais bien plus la problématique et/ou, le "rapport" et/ou hahaha je passe des maths à la philosophie pour finir avec de la numérologie, mais le dernier "rapport" était une blague, nonobstant... (lol) ...je pense que la confusion pointée par le fil illustre beaucoup des confusions typiques des débutants ou non matheux, de la plus grave $\exists/\forall=ou/et=\cup/\cap$ (cette fois "sans guillemet", enfin "sans guillemets" entre guillemets) aux plus subtiles $(\cup/ou)/(\cap/et)=+/\times$, i.e.  "et" de "ajouter", et le "ou" de l'union, sont à l'œuvre, il ne manque que la confusion emblématique "inclus/appartenir", qui, selon moi la première porte qui sépare le monde mathématique du monde profane (lol aussi) mais si ça se trouve elle s'illustre aussi sans que je l'aie perçue...  

  • Lolo36
    Lolo36
    Moi j'ai toujours vu $\forall$ comme une conjonction (intersection pour les ensembles) et $\exists$ comme une disjonction (union pour les ensembles).
    Les mathématiques forment la base canonique de notre monde. Tout le reste en découle.
  • Julia Paule
    Julia Paule
    Modifié (October 2024)
    Bonjour. A ce propos, j'ai une question : l'écriture $ \{k + ln \mid \exists l \in \mathbb{Z}\}$ n'a pas de sens parce que :
    1) quand on dit la phrase en français, cela n'a pas de sens pour nous,
    2) c'est une écriture qui n'existe pas en logique mathématique,
    3) les deux.
    En fait derrière cette question, je ne sais pas si une écriture mathématique (et la phrase qui lui correspond) n'a pas de sens, parce que nous la ressentons simplement comme illogique, et cela s'arrête là, ou bien avons-nous érigé des règles en logique mathématique qui à coup sûr nous permettent de savoir si une écriture mathématique n'a pas de sens ?
  • Médiat_Suprème
    Médiat_Suprème
    Modifié (October 2024)
    La phrase "Il existe $x$ et $y$ tels que $x + y = 0$" a du sens, alors que $\exists x \wedge y (x + y = 0)$ n'a pas de sens (elle est mal formée).

    Quant aux règles de formations, elles n'ont pas été créées au hasard, elles ont bien un lien avec notre fonctionnement.
    Il ne faut pas respirer la compote, ça fait tousser.

    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
  • Julia Paule
    Julia Paule
    Modifié (October 2024)
    Médiat_Suprème a dit :
    Quant aux règles de formations, elles n'ont pas été créées au hasard, elles ont bien un lien avec notre fonctionnement.
    Merci beaucoup. C'est notre fonctionnement qui a induit les règles de la logique, pas l'inverse. Par exemple, le raisonnement par récurrence que notre fonctionnement valide, on a fait en sorte de démontrer sa validité quelque part (à la suite des axiomes de Peano je crois).
    Donc finalement on peut toujours se passer de la logique mathématique pour faire des raisonnements, ou bien en a-t-on besoin parfois ?
    Médiat_Suprème a dit :
    $\exists x \wedge y (x + y = 0)$ n'a pas de sens (elle est mal formée).
    Je ne connais pas beaucoup la logique mathématique. Pourquoi cette phrase n'a-t-elle pas de sens ?
  • Médiat_Suprème
    Médiat_Suprème
    On ne peut jamais se passer de la logique, soit
    1. Comme M. Jourdain faisait de la prose, sans même s'en rendre compte (la formation des formules est un bon exemple)
    2. En mode "expert" pour utiliser ses théorèmes les plus puissants, par exemple : Noteshyeres.pdf (universite-paris-saclay.fr)
    La formule dont j'affirme qu'elle n'a pas de sens est mal formée : $\wedge$ est un connecteur entre formules, pas entre variables.
    Il ne faut pas respirer la compote, ça fait tousser.

    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
  • raoul.S
    raoul.S
    Julia Paule a dit : 
    Je ne connais pas beaucoup la logique mathématique. Pourquoi cette phrase n'a-t-elle pas de sens ?
    Car après $\exists x$ tu ne peux avoir qu'une "formule". Or le symbole $\wedge$, que tu as dans cet exemple, n'est pas une formule.

    Voir par exemple ce cours pour plus de détails.


  • Julia Paule
    Julia Paule
    D'accord. Merci à vous.
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