Un théorème de Burnside réel ?

john_john
john_john
dans Algèbre
Bonjour à tous,
existe-t-il des hypothèses raisonnables entraînant qu'une sous-algèbre de ${\cal L}(E)$, où $E$ est un espace réel de dimension finie, soit égale à ${\cal L}(E)$ tout entier ? Les preuves classiques de la version complexe s'étendent aux espaces réels de dimension impaire (aucun théorème de réduction n'est nécessaire, mais seulement l'existence d'un vecteur propre pour un endomorphisme).
Un énoncé incluant le cas de la dimension paire m'intéresserait ! Merci d'avance,
j__j

Réponses

  • JLapin
    JLapin
    Si ta sous-algèbre est en plus un idéal bilatère, ça fonctionne. Mais tu cherches probablement une condition moins forte... :)
  • john_john
    john_john
    Modifié (October 2024)
    Ah oui : là, tu sors le bazooka ! On peut aussi supposer qu'elle agit transitivement sur les familles libres à deux éléments (de $E$) mais c'est encore une hypothèse trop restrictive.
  • Georges Abitbol
    Georges Abitbol
    Modifié (October 2024)
    C’est quoi le théorème de Burnside ? Si c’est ça, est-ce que la sous-algèbre $\{\pmatrix{a&-b\\b&a}\ \vert \ a,b \in \mathbb{R}\}$ n’est pas un contre-exemple ?
  • dSP
    dSP
    John-John, je ne sais pas exactement ce que tu cherches, mais la bonne généralisation du théorème de Burnside à un corps quelconque est le théorème de Wedderburn : pour toute sous-algèbre irréductible $\mathcal{B}$ de $\mathcal{L}(E)$ (où $E$ est un $K$-espace vectoriel de dimension finie), son commutant $D$ dans $\mathcal{L}(E)$ est un corps gauche (et une $K$-algèbre) l'espace $E$ est naturellement enrichi en un $D$-espace vectoriel à gauche, et $\mathcal{B}$ apparaît comme l'algèbre $\mathcal{L}_D(E)$ des endomorphismes de ce $D$-espace vectoriel (bref, $\mathcal{B}$ est égal à son bicommutant).

    Donc, par exemple, une condition à rajouter à l'irréductibilité serait l'existence d'un élément de rang impair dans ta sous-algèbre.




  • john_john
    john_john
    Bonjour à tous,
    Georges : oui, effectivement, c'est le contre-exemple qui montre l'importance des hypothèses ; en revanche, à moins que je ne me trompe, le sous-espace engendré par les isométries directes d'un espace euclidien $E$ est toujours ${\cal L}(E)$, sauf précisément en dimension $2$.

    dSP : grand merci ; cela confirme mes craintes, à savoir qu'il n'y a de généralisation simple montrant que $A={\cal L}(E)$ entier.
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