Continuité d'une fonction de 2 variables

Une autre façon de prouver le résultat demandé est de récrire la fonction $f$ sous la forme : \[f:(x,y)\mapsto \frac{1}{2}\left(3x^2+y^2-1+|x^2+y^2-1|\right)\], ce qui permet de conclure qu'elle est continue comme somme et composée de fonctions continues.

@blanc tu as raison il manque quelque chose dans la correction, et c'est peut-être ce détail qui est la cause de ton problème? Il faut dire que la suite à valeur dans l'ouverts formé de la réunion des deux,  qui converge vers $(a,b)$ a une infinité de terme et donc il y en a une sous suite à valeur dans l'un des deux ouverts et faire ne une disjonction de cas qu'après avoir dit ça (c'est sur que cet argument manque mais il est considéré comme évident, je pense qu'il aurait quand même du le dire)

@blanc je n'ai peut-être pas compris ton dernier post, mais, ce que j'ai cru comprendre est faux, il y a plusieurs erreurs à mon avis, toujours sous réserve d'avoir compris : 
D'abord il n'y a pas qu'un ouvert, la boule unité ouverte est ouverte (elle est voisinage de chacun de ses points, alors que la boule fermée, non, elle, n'est voisinage d'aucun points de sa frontière) . Tu confonds peut-être ouvert et borné?

D'autre part , beaucoup plus subtil, les continuités que tu établies sur les restrictions concerne la topologie induite à ces restrictions et lorsque tu prends les images réciproques dans la ligne suivante, tu ne peux pas en déduire qu'elles sont ouvertes dans $\mathbb R^2$ et pour cause l'image réciproque de $\mathcal O $ de la restriction au cercle est inclus dans le cercle donc pas un ouvert de $\mathbb R^2$, ce n'est un ouvert que relativement à la topologie induite sur le cercle. 


De toute façon, la correction n'utilise pas le critère "image réciproque d'un ouvert" qui est souvent peu utilisé en pratique, c'est surtout utilisé pour des démos plus générales, après ça dépend, il faut voir au cas par cas, mais en général en pratique,, on a plutôt tendance quand il s'agit d'une fonction explicite, à utiliser le critère utilisé dans la démo, c'est un critère beaucoup plus courant et très pratique pour établir la continuité : tu vois duquel je parle ?
 

 je ne vois pas l'intérêt de présenter une caractérisation séquentielle si c'est pour rédiger aussi peu ensuite et considérer qu'il est trivial que $f(x_n,y_n)$ converge vers $f(a,b)$.

Haha oui c'est vrai

Blanc a dit : 

2)  Pour tous:
Cependant, j'essaye de comprendre avant tout la méthode du corrigé même si vos suggestions sont convaincantes.

Je ne suis pas non plus convaincu par l'argument de DeGeer au début, du fait que l'auteur du corrigé fait allusion à 2 ouverts qui tombent comme un cheveu sur la soupe. Surtout que le fait de mentionner ces deux ouverts ne lui sert aucunement dans la conclusion une fois qu'il a prouvé la continuité de manière séquentielle sur C.

Merci donc  de m'apporter votre aide pour essayer de clarifier la démarche utilisée par l'auteur.  

Pour ce qui est du corrigé, difficile de soutenir sa rédaction par les suites : c’est pourquoi j’ai proposé une alternative. En revanche, si tu ne comprends pas pourquoi sur les ouverts ça se passe agréablement, tu devrais relire le paragraphe de ton cours intitulé « caractère local de la limite ».

Non.
ou plutôt oui et non.

Quand on prend différents $x$ tous dans $C$, qu'on se déplace dans cet espace, la fonction $f$ ne fait pas de 'sauts', elle est continue.
Ok.
Quand on part d'un point de $C$ et qu'on se promène autour de ce point en restant dans $D2 \cup C$, la fonction $f$ est polynomiale, il n'y a pas de saut, ok.

La restriction de $f$ à $C$ est continue, $f/C$ est continue. ... oui : si on s'intéresse à une autre fonction, la fonction $g$ définie sur $C$, par $g(x)=f(x)$, cette fonction est continue, ok. 
Mais on s'en fout. parce que $f/C$ est continue ou $f$ est continue en tout point y compris en tout point de $C$... ce n'est pas pareil.
En effet,
Notre besoin, c'est de montrer qu'en un point $x_0$ quelconque de $\mathbb{R}^2$ et en particulier un point de $C$, $f$ est continue. Et pour savoir si $f$ est continue en un point $x_0$, on regarde un tout petit disque de centre $x_0$, et on regarde si dans ce tout petit disque, tous les points $x$ ont une image $f(x)$ très proche de $f(x_0)$.  (je le dis avec des mots pas très mathématiques, mais je pense que c'est clair)
Et dans ce tout petit disque, il y aura forcément des points de $C$,  des points de $D_2$ ... mais aussi des points de $D_1$.
Donc on a besoin de prouver la continuité de $f/D_1$, de $f/D_2$, de  $f/C$ , mais en plus, on a besoin de prouver que les restrictions $f/D_1$ et $f/D_2$ se 'marient' bien.
Se marient bien... c'est ça qu'on cherche à montrer dans la partie qui te pose problème.

En d'autres mots...
Imagine un autre exercice , avec la même fonction $f$, sauf qu'on remplace $2x^2+y^2-1$ par $2x^2+y^2-2$
Cette fonction $h$ est elle continue ?
La restriction de $h$ à $C$ est continue, $g$ est continue sur $D_1$, elle est continue sur $D_2$ ... mais ...

PS :  je dis que la restriction de $f$ à $C$ est continue, je ne suis pas 100% sûr que cette formulation soit acceptée par des matheux rigoureux.

Blanc a dit : 

1 ) Pour Raoul : si je suppose que f/C est continue (démonstration séquentielle de l'auteur) il en découle que l'image réciproque de O ouvert est un ouvert. Ou alors quelque chose m'a echappé.

Non. L'image réciproque d'un ouvert $O$ est un ouvert de $C$ (muni de la topologie induite), pas de $\R^2$, c'est ce qui rend fausse ta preuve ICI. Comme l'a fait remarquer JLapin la preuve du corrigé utilisant les suites n'est pas assez détaillée, et leur utilisation de ce cas n'est pas très pratique...

Mince, me voilà démasqué !