Inversibilité de la matrice des mineurs

b.b
b.b
Modifié (October 2024) dans Algèbre
Bonjour à tous,

Soit $M$ est une matrice carrée de taille $n$ à coefficients dans un corps, supposée inversible. "La" matrice de ses mineurs de taille $k$ est-elle inversible à son tour ? Le cas $k=1$ nous redonne $M$. Pour $k=n-1$, on peut retrouver la comatrice de $M$ en multipliant par $Diag(1,-1,1,-1,\dots)$ à gauche et à droite. Que se passe-t-il pour des mineurs de taille $k$ intermédiaire, où $1<k<n$ ?

Je bloque peut-être sur un point évident, mais je voulais poser cette question ici pour en avoir le coeur net.

Merci de votre aide 

Réponses

  • Math Coss
    Math Coss
    Modifié (October 2024)
    « La » matrice que tu décris est une matrice de la puissance extérieure de l'endomorphisme initial, cf. https://fr.wikipedia.org/wiki/Puissance_extérieure. Comme la puissance extérieure de la composée est la composée des puissances extérieures et que la puissance extérieure de l'identité est l'identité (en termes plus chic : c'est fonctoriel), la puissance extérieure d'un morphisme inversible est inversible.

  • b.b
    b.b
    Merci, Math Coss ! 
  • dSP
    dSP
    On peut même calculer la matrice inverse, la formule ressemblant énormément à la formule de la comatrice...
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