Quotient de puissances de formes linéaires

P.2
P.2
Modifié (October 2024) dans Analyse
Soit $E_+=]0,\infty[^n\subset E=\R^n$ euclidien. Soit $a,b\in E_+$ et $\alpha,  \  \beta$ des reels positifs. Quel est la borne inferieure de la fonction sur $E_+$ definie par

$$x\mapsto \frac{\langle x, a\rangle ^{\alpha} }{\langle x, b\rangle ^{\beta}}\times \|x\|^{\beta-\alpha}?$$ Je pose la question car je vois trainer sur Math Exchange des tas de cas particuliers avec des solutions entortillees.

Réponses

  • bisam
    bisam
    Je n'ai pas encore la solution mais je dirais qu'il y a au moins deux cas suivant que $a$ et $b$ sont colinéaires ou non.
  • bisam
    bisam
    Je suis tombé encore sur deux cas dans chaque situation, suivant que $\alpha$ est plus grand ou plus petit que $\beta$... Est-ce qu'il faut continuer ou bien ça fait déjà trop de cas ?
  • P.2
    P.2
    Sans perte de generalite on peut supposer $a$ et $b$ de norme 1. J'ai oublie de dire que $a$ et $b$ sont independants -c'est facile sinon. Faire une hypothese sur $\alpha> \beta$ ou son contraire revient a transformer le probleme de la recherche de l'inf en la recherche du sup. Ici encore on peut supposer sans perte de generalite $\beta=1$ par exemple.
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