$\mathbb{Z}/34\mathbb{Z}$

Comment as-tu obtenu ces résultats ?

Sais-tu que les objets de l'ensemble $\mathbb{Z} / 34\mathbb{Z}$ ne sont pas vraiment des "nombres" mais des classes d'équivalences de tels nombres ?

Moi je redescendrais dans $\mathbb Z$.

 Il s'agit de trouver les $x \in \mathbb Z$ tels que $x^2-x=x(x-1)$ soit divisible par $34$.

 Si $x \in \mathbb Z$, alors $x(x-1)$ est pair. Cet entier $x(x-1)$ sera divisible par $34$ si et seulement si il est divisible par $17$, et comme $17$ est premier, ceci équivaut au fait que $x$ ou $x-1$ est divisible par $17$. Les solutions modulo $34$ sont donc : $0$, $1$, $17$, $18$.

Disclaimer: je sais faire la première question de tête et je saurais faire le deuxième en calculant mais pour le fun, une version brute force.

sage: [a for a in range(91) if len([x for x in range(91) if (a*x)%91==0])>1]
[0, 7, 13, 14, 21, 26, 28, 35, 39, 42, 49, 52, 56, 63, 65, 70, 77, 78, 84]
sage: len(_)
19
sage: [a for a in range(91) if len([x for x in range(91) if (a*x)%91==0])>1] == [a for a in range(91) if a%7==0 or a%13==0]
True
sage: [x for x in range(91) if (x^2+2*x-3)%91==0]
[1, 36, 53, 88]

(Et oui, je pourrais écrire la première phrase en français.)

On peut (je n'ose écrire « il faut ») penser un idempotent, c'est-à-dire une solution de $x^2=x$, comme un projecteur en algèbre linéaire : une façon de décomposer un anneau $A$ (ou un espace ou un module) en somme directe de deux idéaux, à savoir $xA$ et $(1-x)A$ (correspondant au noyau et à l'image du projecteur). Voir l'analogie entre d'une part $xA$ et $(1-x)A$, d'autre part l'image et le noyau d'un projecteur qui sont les espaces propres associés aux valeurs propres $1$ et $0$. De même que $p\mapsto\mathrm{id}-p$ est une involution sur l'ensemble des projecteurs, l'application $x\mapsto1-x$ est une involution sur l'ensemble des idempotents puisque $x^2=x$ équivaut à $(1-x)^2=(1-x)$ (en toute caractéristique d'ailleurs).

Dans le cas de $\Z/n\Z$, on peut découper en morceaux via le lemme chinois lorsque les morceaux correspondent à des facteurs premiers entre eux de $n$. Plus précisément, si $n=ab$ avec $a\wedge b=1$, on a $\Z/n\Z\simeq\Z/a\Z\times\Z/b\Z$. Pour voir un idempotent là-dedans, il vaut mieux penser l'isomorphisme comme $\Z/ab\Z\simeq b\Z/ab\Z\times a\Z/ab\Z$. Étant donné une identité de Bézout $au+bv=1$, le premier facteur est l'image de la multiplication par $bv$, le deuxième par $au$ ; l'idempotent correspondant est $bv$, vu que modulo $ab$ on a \[(bv)^2=bv(1-au)=bv-abuv=bv.\] La réciproque est vraie : si $\Z/ab\Z\simeq\Z/a\Z\times\Z/b\Z$, alors $a\wedge b=1$ : on ne peut donc guère espérer mieux que ce type de découpage.

Tout ça pour dire que pour $n$ entier naturel non nul, on peut mettre les idempotents de $A=\Z/n\Z$ en bijection avec les couples $(a,b)$ d'entiers premiers entre eux tels que $n=ab$. La correspondance fonctionne ainsi :

NB : si $x$ est l'idempotent associé à $(a,b)$, alors $1-x$ est celui associé à $(b,a)$.

Il n'y a plus qu'à démontrer...

Pour les modules $n $ impairs, on peut utiliser aussi la forme canonique du trinôme, et le nombre de solutions de l'équation $x^2=x$ dans $\mathbb Z/n \mathbb Z$ est le nombre de carrés dans cet anneau. Comme l'a dit @Math Coss, cet anneau est isomorphe au produit des anneaux $\mathbb Z/p^k \mathbb Z$, où les $p^k$ sont les facteurs primaires de $n$. Le nombre de carrés dans $\mathbb Z/n \mathbb Z$ est une fonction arithmétique multiplicative de $n$. On se ramène au nombre de carrés dans $\mathbb Z/p^k \mathbb Z$.

Edit. Erreur, voir plus loin.