Question simple (notation de somme double)

Yanel
Yanel
Modifié (October 2024) dans Analyse
Quelle est la différence entre les deux sommes ?

Réponses

  • JLapin
    JLapin
    Des choix d’écriture non homogènes de la part de l’auteur…
  • Yanel
    Yanel
    C'est-à-dire qu'ils ont le même sens ?
  • Héhéhé
    Héhéhé
    Je pense que oui.
  • lourrran
    lourrran
    Ces 4 écritures sont strictement équivalentes :
    $\sum\limits _{m,n \in \mathbb{N}^2}  f(m,n)$

    $\sum\limits_{m,n=0}^{\infty}  f(m,n)$

    $\sum\limits_{m \in \mathbb{N}} \sum\limits_{n \in \mathbb{N}}  f(m,n)$

    $\sum\limits_{m=0}^{\infty}  \sum\limits_{n=0}^{\infty}   f(m,n)$

    Dans ton exemple, l'une des sommes est sur $\mathbb{N}^2$, l'autre est sur  $(\mathbb{N}^*)^2$
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
    L'hypocrisie est pire qu'une vérité qui fait mal. Franck Ntasamara.
  • Yanel
    Yanel
    Merci a vous tous 
  • dSP
    dSP
    lourrran a dit :
    Ces 4 écritures sont strictement équivalentes :
    $\sum\limits _{m,n \in \mathbb{N}^2}  f(m,n)$

    $\sum\limits_{m,n=0}^{\infty}  f(m,n)$

    $\sum\limits_{m \in \mathbb{N}} \sum\limits_{n \in \mathbb{N}}  f(m,n)$

    $\sum\limits_{m=0}^{\infty}  \sum\limits_{n=0}^{\infty}   f(m,n)$

    Dans ton exemple, l'une des sommes est sur $\mathbb{N}^2$, l'autre est sur  $(\mathbb{N}^*)^2$

    Je ne suis pas d'accord. La notation $\underset{i \in I}{\sum} u_i$ est normalement réservée aux familles sommables, dans le contexte en question son usage sous-entendrait donc une convergence absolue.
  • plsryef
    plsryef
    Modifié (October 2024)
     @lourran tu supposes la suite double $(f(m,n))_{m,n \mathbb{N}^2}$ est sommable ? (j'avais pas bu le message précédent)
  • lourrran
    lourrran
    Effectivement, décomposer la somme double en 'privilégiant' $m$ ou bien $n$ ne peut se faire que si certaines conditions sont réunies. 
    Ca, j'aurais dû le préciser, C'est une erreur qu'il ne faut pas faire. Faute.

    Euhhhhh , non, il n'y a pas que ça.... Si je décrypte les réponses, la notation avec une borne min en bas et une borne max en haut est universelle, utilisable tout le temps. 
    Alors que l'autre notation ne peut s'utiliser que si on a prouvé telle ou telle propriété 'compliquée' sur la somme (convergence absolue).
    Ca, c'est une question de notation, de convention... je me suis planté, mais je n'ai pas de regret.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
    L'hypocrisie est pire qu'une vérité qui fait mal. Franck Ntasamara.
  • bisam
    bisam
    La première est plutôt réservée aux familles sommables tandis que la deuxième relève plutôt de la sommation des séries... mais ici, cela ne colle pas car il s'agit d'une somme double.
    Cependant comme c'est une somme de réels positifs, on se fiche de l'ordre de sommation, voir même de la finitude de la somme!,
  • gerard0
    gerard0
    Bonjour.

    Il y a quand même un problème, puisque pour $f$ ne sont définis des $a_{n,m}$ pour n>0 et m>0, alors que dans sa norme, n et m commencent à 0, donc il y a une infinité de termes inexistants.
    Je soupçonne une typo, probablement un 0 à la place de 1 dans $n,m=1$ au bas de la somme.

    Cordialement.
  • guiguiche
    guiguiche
    Il est écrit : "$\mathbb{N}^*$ is the set of nonnegative integers".
    Il n'y a pas donc pas de problème, non ? Après, on peut disserter sur la pertinence des notations mais c'est une autre question ...
  • gerard0
    gerard0
    Modifié (October 2024)
    Oui, tu as raison. C'est la notation inhabituelle $\mathbb N^*$ qui m'a trompé.
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Bonjour!

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