Différentes définitions de la moyenne de Cesàro ?

igrec27
Modifié (October 2024) dans Analyse
Bonjour,
Il y a eu une question sur ce forum en rapport avec la moyenne de Césaro:
J'ai d'autre part trouvé dans ce lien une autre définition de la moyenne de Cesaro:
qui fait intervenir des logaritmes.
La propriété alpha demande qu'avec cette définition on va obtenir les  mêmes limites pour les suites convergentes au sens initial.
Comment s'en assurer?
De plus ces deux moyennes de Césaro convergent elles sur les  mêmes séquences de nombres?

Réponses

  • Merci de m'avoir rappelé le lien. Je réalise que j'ai oublié d'ajouter l'exercice au fil dédié ; c'est l'exercice 37.
    Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..


  • On ne peut pas te répondre puisque le deuxième article est inaccessible en l'état.
  • Merci,
    Il s'agit bien de cet article avec les logarithmes (ç'est d'ailleurs dans le titre).

  • Quand une suite converge vers une limite L les deux suites différenres de Césaro congergent vers cette limite L.
    Prenons l'exemple simple avec tous les termes égaus a 1/.
    La première définition (moyennes arithmétiques) donne
    1/1, (1 + 1)/2, (1 + 1 + 1) / 3 .... qui converge vers L = 1
    La seconde donne
    log 2 / log 2, (log 2 + log (3/2)) / log 3, (log 2 +  log (3/2) +  log (4/3)) / log 4 etc
    qui converg également vers L = 1
    mais une suite peut ne pas converger , par exemple 1 0 1 0 1 0 1 0
    et sa suite de Césaro arithmétique converger.
    elle commence par 1/1, 1/2, 2/3, 2/4, 3/5, 3/6 etc
    un terme sur deux est égal a 1/2 et les autres tendent vers cette valeur.
    la deuxième définition pour cette suite commence par
    log 2 / log 2 = 1
    (log 2 + 0 log (3/2)) / log 3 = log 2 / log 3
    (log 2 + 0 + log (4/3)) / log 4 =  log (4 !! / 3 !!) / log 4

    un terme général est une somme de log d'entiers pairs moins des log d'entier pairs divisé par 
    log (n+1) avec n représentant l'indice dans cette duxieme suire de Césaro
    Ca ne semble pas congerger vers 1/2 comme pour la première suite
    de Césaro.
     
  • Et pourtant si ca tend vers 1/2
    quand on prend les suires 
    2/1, 2/1 * 4/3 , 2/1 * 4/3 * 6/5 etc
    on a une suite qui croit comme une racine de n
    si on prend les logs ca croit comme $log \sqrt n$ soit (log n) / 2
    et si on divise par log n ca tend vers 1/2 aussi
  • Chaurien
    Modifié (October 2024)
    • Soit une suite réelle ou complexe $(u_{n})_{n\in \mathbb{N}^{\ast }}$. Il me semble que la moyenne de Cesàro (attention à la place de l'accent) est classiquement : $v_{n}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}u_{k}$. Le théorème classique dit que si $u_n$ a pour limite $\ell$, alors il en est de même de $v_n$. Pour la démonstration, on commence par le cas $\ell=0$ et on coupe en deux la somme $\sum_{k=1}^{n}u_{k}$. Ceci est bien connu.
    • Plus généralement, soit une suite réelle $(a_{n})_{n\in \mathbb{N}^{\ast }}$, avec $a_{n}>0$, telle que la série de terme général $a_n$ est divergente, et soit $s_{n}=\sum_{k=1}^{n}a_{k}$. On peut considérer une  « moyenne de Cesàro généralisée » (pondérée) $v_{n}=\frac{1}{s_{n}}\sum_{k=1}^{n}a_{k}u_{k}$, On peut encore affirmer que que si $u_n$ a pour limite $\ell$, alors il en est de même de $v_n$. La démonstration est la même.
    On peut remplacer $s_n$ par une suite équivalente, et considérer par exemple $v_{n}=\frac{1}{\ln (n+1)}\sum_{k=1}^{n}\frac{u_{k}}{k}$.
    Autre exemple, pour $\alpha$ réel, $\alpha>-1$ : si $u_n$ a pour limite $\ell$, alors $w_{n}=\frac{1}{n^{\alpha+1}}\sum_{k=1}^{n} k^{\alpha} u_{k}$ a pour limite $\frac {\ell}{\alpha+1}$.
    • On peut aussi définir une généralisation en prenant pour multiplicateurs une suite double. Par exemple pour la suite  $(u_{n})_{n\in \mathbb{N}}$, définir : $v_{n}=\frac{1}{2^{n}}\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}u_{k}$.
    Bonne journée automnale.
    Fr. Ch.
  • Rombaldi
    Modifié (October 2024)
    Bonjour à tous,
    notre ami Gebrane avait initié une discussion très intéressante sur les moyennes de Cesàro. Voilà en fichier joint une compilation des idées qui ressortaient de cette discussion. Il y a peut être des coquilles et des manques.
    En vous souhaitant une bonne journée.
    Jean-Etienne
  • Math Coss
    Modifié (October 2024)
    Pardon pour la digression à venir par rapport à la question initiale. Dans le cas d'une suite double, il doit y avoir des conditions pour que la moyenne très généralisée ait la même limite que la suite si celle-ci converge, non ? Par exemple, je ne suis pas sûr que ça marche avec \[x_n=\frac{1}{2^{n+1}}\sum_{k=0}^{n}2^{n-k}u_k=\sum_{k=0}^{n}2^{-k}u_k.\]
    PS : Si par exemple $u_k=1/(k+1)$, la suite $(x_n)$ définie ci-dessus converge vers $2\ln 2$ – sauf erreur de calcul.
  • Chaurien
    Modifié (October 2024)
    Bravo @Math Coss pour cette question. C'est pourquoi je n'avais rien dit de général à ce sujet dans mon message : courageux, mais pas téméraire  ;). Il faut revoir la démonstration pour $v_{n}=\frac{1}{2^{n}}\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}u_{k}$. Le problème se pose pour la première portion dans le coupe-en-deux. J'ai l'impression qu'il faut une condition de borne pour les multiplicateurs relativement à leur somme. j'y reviens tantôt.
  • Chaurien
    Modifié (October 2024)
    Soit une suite réelle ou complexe $(u_{n})_{n\in \mathbb{N}}$. Soit une suite double réelle $a_{n,k}>0$ définie pour $n\in \mathbb{N}$ et $k\in \{0,1,...,n\}$. 
    Soit $s_{n}=\sum_{k=0}^{n}a_{n,k}$ et $\mu _{n}=\max (a_{n,0},a_{n,1},...,a_{n,n})$. On suppose : $\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{\mu _{n}}{s_{n}}=0$.
    Soit $v_{n}=\frac{1}{s_{n}}\sum_{k=0}^{n}a_{n,k}u_{k}$. J'ai l'impression que si $u_n$ a pour limite $\ell$, alors il en est de même de $v_n$.
    La condition $\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{\mu _{n}}{s_{n}}=0$ est réalisée pour $a_{n,k}=\binom{n}{k}$ mais non pour $a_{n,k}=2^{n-k}$.
    À creuser...

  • JLapin
    Modifié (October 2024)
    Je reprends les notations de Chaurien et je suppose en plus que la suite $(u_n)$ converge vers $0$, quitte à remplacer $u_n$ par $u_n-\ell$.
    On supposera simplement que, pour $k$ fixé, la suite $\dfrac{a_{n,k}}{s_n}$ converge vers $0$ quand $n$ tend vers $+\infty$.
    Notons que cette condition n'est pas vérifiée lorsque $a_{n,k} = 2^{n-k}$ mais est bien vérifiée lorsque $a_{n,k} = \dbinom{n}{k}$.
     On va démontrer que la suite $(v_n)$ converge vers $0$.
    Pour tout $n$, en posant $\delta_{k\leq n} = 1$ si $k\leq n$, $0$ sinon, on a $$v_n = \sum_{k=0}^{+\infty} \dfrac{a_{n,k}}{s_n} \delta_{k\leq n} u_k.$$
    Pour tout $k$ et $n$, on pose  $$w_k(n) = \dfrac{a_{n,k}}{s_n} \delta_{k\leq n} u_k$$
    Pour $k$ fixé, la suite $(w_k(n))_{n\in\mathbb N}$ converge vers $0$ donc par le théorème de la double limite, il suffit de vérifier la convergence uniforme de la série de fonctions $\sum w_k$ sur $\mathbb N$.
    Pour cela, on pose $\varepsilon_p = \sup_{k>p} |u_k|$, qui converge vers $0$ quand $p$ tend vers $+\infty$.

    Soit $p\in \mathbb N$ et $n\geq p$. On a
    $$|\sum_{k=p+1}^{+\infty} w_k(n)| = |\sum_{k=p+1}^n \dfrac{a_{n,k}}{s_n} u_k|\leq \varepsilon_p \sum_{k=p+1}^n \dfrac{a_{n,k}}{s_n}\leq \varepsilon_{p} \dfrac{s_n}{s_n} = \varepsilon_p.$$
    Si $n<p$, on a directement
    $$|\sum_{k=p+1}^{+\infty} w_k(n)| =0\leq \varepsilon_p.$$
    La convergence uniforme est établie et la suite $(v_n)$ converge vers $0$ (vers $\ell$ si au départ, la suite $(u_n)$ converge vers $\ell$).
    J'espère qu'il n'y a pas trop d'erreurs dans ce qui précède, merci de votre attention.
  • Bonjour,
    on peut voir le théorème de Toeplitz dans le document attaché à mon précédent message.
  • raoul.S
    Modifié (October 2024)
    Voici un ancien fil proposé par gebrane sur Toeplitz.

    PS : la question de Chaurien est celle nommée Echauffement 1 dans le fil.
  • JLapin
    Modifié (October 2024)
    Effectivement, j'ai voulu réinventer la roue...
    Dans le document que tu as joint, ne faudrait-il pas ajouter une hypothèse de complétude de $E$ pour que "la convergence normale dans $E$" implique la convergence, au début de la page 3 ?
    J'avoue que je ne n'ai pas tout regardé en détail mais ce point m'a interpelé.

    En tout cas, merci pour ce document très riche !
  • Exact, tu as raison JLapin, je corrigerais.
  • Rombaldi
    Modifié (October 2024)
    Le fichier est corrigé sur l'ancien message. Voir aussi le fil de Gebrane où c'est mieux organisé.
  • Merci à @gebrane et à @Rombaldi pour cette profusion d'idées et de variantes. Le fil m'avait échappé, je suis content que vous m'ayez mis le nez dessus.
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