Épi(hypo)cycloïde et pédagogie

Serge13790
Serge13790
Modifié (September 2024) dans Géométrie
Bonjour,

La base est un cercle de rayon $R$ et la roulante un cercle de rayon $r$. On suppose que $\frac Rr$ est un entier (supérieur ou égal à 1 pour une épicycloïde et supérieur ou égal à 2 pour une hypocycloïde).
Il est facile de démontrer que quand la roulante fait une révolution autour de la base, la roulante fait $\frac Rr +1$ rotations pour une épicycloïde et $\frac Rr -1$ rotations pour une hypocycloïde ; mais cela suppose que l'on dispose des notions de courbes paramétrées et/ou de la théorie du mouvement plan sur plan.
Ma question est celle-ci : comment le faire comprendre le plus rigoureusement possible à des élèves de troisième ou seconde ?
Bien sûr, dans le cas de la cardioïde par exemple, on peut visualiser le phénomène en faisant tourner une pièce de monaie sur une autre de même taille (bien que ça ne soit pas si commode), mais j'aimerais une « démonstration » moins expérimentale.
Merci pour toute aide.
Cordialement.

Réponses

  • bisam
    bisam
    Je pense qu'une animation Geogebra convaincra la plupart des élèves.
    Si en plus, on peut faire varier le rapport $R/r$, tu obtiens suffisamment d'attention et de conviction.
  • Serge13790
    Serge13790
    Certes, une animation Geogebra visualisera la propriété (mieux que des pièces de monaies), mais je cherche une « démonstration » même peu rigoureuse plutôt qu'une visualisation.
  • gerard0
    gerard0
    Bonjour.

    Première étape, voir que le périmètre du cercle de base fait $\frac R r$ fois le périmètre du cercle "roulante" (*). Donc le cercle roulante va faire $\frac R r$ tours le long de la base. Reste à justifier le $\pm 1$ en examinant comment il roule. Pour préparer les élèves à ça, fais leur voir "Le tour du Monde en 80 jours", avec Belmondo, ou au moins la fin.

    Cordialement.

    (*) une roulante est une cuisinière militaire avec des roues qu'on met derrière un camion pour l'emmener en manœuvres ou au combat. Elle marche au carburant du camion.

  • Serge13790
    Serge13790
    C'est bien le $\pm 1$ que je veux justifier de manière suffisamment simple pour être compris. 

    Amha, si "Le tour du Monde en 80 jours" doit être utilisé, alors pourquoi Belmondo plutôt que Jules Verne ? 
    Ce n'est cependant pas ce que j'attends même si c'est une judicieuse remarque.
  • gerard0
    gerard0
    Ben... il suffit de regarder dans quel sens tourne le cercle, en notant qu'il tourne d'un peu plus d'un tour dans un un cas, et d'un peu moins dans l'autre. On peut même calculer de quel angle il a tourné quand le point de contact initial revient sur le cercle de base. 
    C'est une preuve de niveau lycée, comme on en fait en technique. 

    Cordialement. 
  • Julia Paule
    Julia Paule
    En fait, pour l'épicycloïde, le centre de la volante se déplace sur un cercle de rayon $R+r$. Pendant qu'elle fait un tour complet sur elle-même, elle accomplit une fraction $\dfrac {r} {R+r}$ du périmètre de ce cercle, et la même fraction du périmètre de la base. Donc pour faire le tour complet de la base, il lui faut accomplir $\dfrac {R+r} {r}$ tours. Idem pour l'autre, les rayons se soustrayant.
  • matheuse_dynamique
    matheuse_dynamique
    Pour l'aspect expérimental,  plutôt que le numérique, je recommande un jeu bien plus concret que toutes les petites filles de ma génération ont connu, le spirographe https://www.generation-souvenirs.com/jeux-de-societe-d-enfance/jeu-de-societe-dessinons-la-mode-sans-les-accessoires-de-dessin-1836.html

    Evidemment présenté comme un jeu de mode plutôt que de maths, cela renvoie à l'histoire de l'enseignement des maths aux filles, la géométrie ok, mais pour la couture :-)  (Voir https://mediaserver.univ-nantes.fr/videos/evelyne-barbin-quand-il-a-fallu-enseigner-les-mathematiques-aux-jeunes-filles-1880-1960/ )

    Aujourd'hui, ça existe encore, en moins mathématique

  • Chaurien
    Chaurien
    Modifié (October 2024)
    Il faut expliquer à @matheuse_dynamique qu'il existe aussi des garçons.  Le spirographe n'est pas réservé aux filles, les garçons peuvent aussi s'y intéresser. S'il en existe une version orientée vers la mode et proposée plus particulièrement aux fillettes, et si certaines d'entre elles veulent jouer avec, je n'y trouve rien à redire. Les garçons et les filles sont différents, et il est normal qu'ils jouent à l'occasion avec des jouets différents, s'ils le souhaitent, d'où la légitimité de « jouets genrés », pour reprendre le jargon en vigueur. Ce qui est à condamner ce sont les actions de commandos de viragos féministes contre des magasins qui proposent ces jouets, en violation de la liberté de commerce.
  • biely
    biely
    @matheuse_dynamique
    Quand cela devient une idée fixe cela finit par devenir inquiétant...
    ’’Auparavant le monde était dirigé par des intelligents. C’était cruel. Les intelligents forçaient les imbéciles à apprendre. C’était difficile pour les imbéciles. Aujourd'hui le monde est dirigé par des imbéciles. C’est juste, car les imbéciles sont beaucoup plus nombreux. Aujourd'hui les intelligents apprennent à s’exprimer afin que les imbéciles puissent comprendre. Si un imbécile ne comprend pas c’est un problème d’intelligents. Auparavant souffraient les imbéciles. Aujourd'hui souffrent les intelligents. La souffrance diminue car les intelligents sont de moins en moins nombreux.’’
    Mikhaïl Jvanetski.

  • Chaurien
    Chaurien
    Modifié (October 2024)
    La question de l'histoire de l'enseignement des mathématiques aux jeunes filles est une question très intéressante, mais qui n'a rien à voir avec les hypo- et épicycloïdes, lesquelles sont l'objet de ce fil de discussion. @matheuse_dynamique serait donc mieux inspirée d'ouvrir un autre fil de discussion, spécialement consacré à cette question.
    J'ai connu Évelyne Barbin il y a  plus de quarante ans, dans le cadre des IREM, quand elle s'appelait Le Rest, du nom de son premier mari, un grand costaud sympathique. J'ai toujours eu beaucoup de sympathie pour elle, en dépit de quelques divergences, qui n'empêchent pas l'estime mutuelle. Je ne l'avais pas revue depuis les années 1990, et ça m'a fait un choc de la revoir dans cette vidéo.
    Le temps s'en va, le temps s'en va ma Dame,
    Las ! le temps non, mais nous nous en allons,
    Et tôt serons étendus sous la lame.
  • Chaurien
    Chaurien
    Modifié (October 2024)
    Pour en venir aux courbes cycloïdales, l'animation avec les logiciels de géométrie semble plus appropriée, de nos jours, que ce bon vieux spirographe. Il y a aussi les trochoïdes, décrites par un point attaché au cercle mobile mais non situé sur lui. L'étude de leurs propriétés semble mieux placée dans une classe qui prévoit l'étude des courbes paramétées, peut-être en Math. Sup., plutôt qu'en Troisième, classe où il me semblerait mieux approprié de faire des démonstrations de géométrie élémentaire.
    Une hypotrochoïde peut être une ellipse, c'est une jolie propriété, mais qui ne semble pas susceptible d'être enseignée en Troisième.
  • plsryef
    plsryef
    Modifié (October 2024)
    Sinon le faire avec des engrenages.
    il ya cette vidéo issue d'une traduction automatique: https://www.youtube.com/watch?v=fEBAwYdjNGQ 
    et celle-ci est plus instructive: https://www.youtube.com/watch?v=TzJkD87eQNI
  • Serge13790
    Serge13790
    Merci à tous pour les réponses.
    Précision sur le vocabulaire :smile:

    Base et roulante
    Au cours du temps, le centre instantané de rotation se déplace. Dans le plan de référence, il décrit une courbe appelée base. Dans le plan lié au solide en mouvement, il décrit une courbe appelée roulante. Au cours du mouvement, la roulante roule sans glisser sur la base. 

  • Chaurien
    Chaurien
    Je n'ai pas revu le mouvement plan sur plan depuis l'époque très ancienne où j'étais élève de Math. Sup. C'était une théorie très sympathique, qu'on trouve dans les manuels de Math Sup -Spé des années 1950-1960. On peut néanmoins traiter toutes les propriétés des courbes cycloïdales sans recourir à cette théorie.
  • Roland Dassonval
    Roland Dassonval
    Peut-être utilisable

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