Carré d'un cycle

mathspe
mathspe
dans Algèbre
Bonsoir. Soit $c=(a_1,\dots,a_p)$ un cycle de longueur p.
quelle condition pour que son carré $c^2$ est aussi de longueur p

Réponses

  • NicoLeProf
    NicoLeProf
    Modifié (September 2024)
    Bonsoir,
    plus généralement, deux cycles dans $\mathfrak{S}_n$ ont la même longueur si et seulement s'ils sont conjugués.
    i.e : deux cycles $c$ et $c'$ ont la même longueur si et seulement s'il existe une permutation $\sigma \in \mathfrak{S}_n$ telle que $c'=\sigma \circ c \circ \sigma^{-1}$.
    Ce qui se démontre en utilisant la formule suivante : pour tout cycle $c=(a_1 \cdots a_p)$ et pour toute permutation $\sigma $ de $\mathfrak{S}_n$, $\sigma \circ c \circ \sigma^{-1}=(\sigma(a_1) \cdots \sigma(a_p))$.
    Lorsque notre cher Gebrane, le 😄 farceur, intervient dans une question d'algèbre, c'est une véritable joie pour les lecteurs.


  • i.zitoussi
    i.zitoussi
    Avec la remarque de @NicoLeProf, on peut se ramener au cas où $c$ est le cycle $(1\; 2\dots p)$ de $S_n$ ($n\geqslant p$), puis au même cycle $(1\; 2\dots p)$ de $S_p$ (car le reste, $p+1$,..., $n$,  n'intervient pas). Alors, pour $k\in\Z$, $c^k$ est l'application $i\mapsto i+k$ (représentant modulo $p$). Cette application consiste en un seul cycle de longueur $p$ si et seulement si ....
    Après je bloque.
  • plsryef
    plsryef
    Modifié (September 2024)
    la classe de k est une racine primitive générateur de ... dans quoi  ?
  • raoul.S
    raoul.S
    Question d'en rajouter une couche : plus généralement, dans $\Z/n\Z$, $k$ est d'ordre $n/(k\wedge n)$.
  • mathspe
    mathspe
    Merci beaucoup à tous
  • john_john
    john_john
    Bonjour,
    l'an dernier, GaBuZoMeu a proposé un joli exercice prolongeant la question de l'élévation au carré dans ${\frak S}_n$ : 

    https://les-mathematiques.net/vanilla/discussion/2334798/la-gaffe-de-007½


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