Un exercice "simple" sur les groupes

Bonjour.

Je bloque sur cet exercice : 

Soit $G$ un groupe (noté multiplicativement).
On suppose qu'il existe un entier naturel $n$ supérieur ou égal à $3$ tel que, pour tout $k$ appartenant à $\{n-1, n, n+1 \}$ et pour tous $x, y$ dans $G$, l'on ait $(xy)^{k} = x^k y^k$. Montrer que $G$ est abélien.

Bien que je sèche dessus, je me suis permis, dans le titre, de le qualifier de simple dans la mesure où ça n'utilise pas grand chose à part les manipulations classiques (simplifications à gauche, à droite, passage aux inverses …).

A force de tourner en rond, je me suis intéressé au cas $n=3$ (si l'on met la main sur les astuces pour ce cas, ça ne doit, je l'espère, pas être trop difficile à généraliser).
Partant des égalités $(xy)^2 =x^2 y^2$ et $(xy)^3 = x^3y^3$, on peut obtenir : 

$x = x^{-1}(xy)^2 y^{-2} = (xy)^2 y^{-2}x^{-1}$
et 
$x = x^{-2}(xy)^3 y^{-3} = (xy)^3 y^{-3}x^{-2}$

On en déduit alors :
$(xy)^2 y^{-2}x^{-1} = (xy)^3 y^{-3}x^{-2}$
puis : 
$y^{-2}=xy y^{-3} x^{-1}$ et donc : $y^{-2}x = x y^{-2}$
ce qui montre que $x$ et $y^{-2}$ commutent.
On obtient alors facilement que $x^{-1}$ et $y^2$ commutent aussi.
Mais a priori rien qui permettrait de passer au fait que $x$ et $y$ commutent.

Auriez-vous une idée ?
Je vous remercie.