Une équation fonctionnelle difficile

Bibix
Bibix
dans Analyse
Bonjour,
Soit l'équation fonctionnelle $(E) : \forall x,y \in \mathbb{R}^*, f(x) f(y) = f\left(x f\left(\frac{y f(x)}{x}\right)\right)$. On peut remarquer que $\{x \longmapsto a+b x \mid a,b \in \{0,1\}\}$ est l'ensemble des solutions affines de $(E)$. Y a-t-il d'autres solutions de $(E)$ ?

Réponses

  • bisam
    bisam
    Est-ce volontaire d'avoir exclu $y=0$ de l'équation ?
  • Bibix
    Bibix
    Oui, en fait je cherche les solutions de $f(x) f(x y) = f(xf(yf(x)))$ mais pour faire apparaitre la symétrie, j'ai transformé l'équation. Comme je veux absolument que $x$ et $y$ vivent dans le même espace (pour des raisons de symétrie), il faut exclure $y = 0$.
  • marco
    marco
    Si $f$ est solution de la deuxième équation, il me semble que $x \mapsto (f(x^a))^{1/a}$ est solution si $a$ est un entier impair strictement positif, ou l'inverse d'un entier impair strictement positif.
    Donc $f(x)=(1+x^{1/3})^3$ convient par exemple.
  • marco
    marco
    Modifié (September 2024)
    Si $\phi$ est une fonction (non nécessairement continue) vérifiant $\phi(xy)=\phi(x) \phi(y)$ pour tout $x,y$ et bijective de $\R$ dans $\R$, et si $f$ est solution, alors $\phi^{-1}\circ f \circ \phi$ est aussi solution. Sauf erreur. 
  • marco
    marco
    Modifié (September 2024)
    Par exemple, si $\psi$ est $\Q$-linéaire bijective, $\phi(x)= \epsilon(x) e^{\psi(\ln |x|)}$ (où $\epsilon (x)$ est le signe de $x$) convient comme fonction multiplicative.
  • marco
    marco
    Modifié (September 2024)
    $f(x)= (1+x^n)^{1/n}$ convient aussi si $n$ est pair. Par exemple, $f(x)=\sqrt{1+x^2}$.
    Ainsi que $(1+|x|^a)^{1/a}$ si $a>0$. Par exemple $f(x)=1+|x|$.
  • Bibix
    Bibix
    Merci @marco . J'ai fini par comprendre que $f$ est solution si et seulement si $f(x) = F(1,x)$ où $F$ est solution du système fonctionnel $$\begin{cases} F(x,F(y,z)) = F(F(x,y), z) \\ F(\lambda x, \lambda y) = \lambda F(x,y)\end{cases}.$$ Du coup, en utilisant la solution générale (sous des conditions "raisonnables") de l'équation d'associativité $F(x,y) = g^{-1}(g(x) + g(y))$, on obtient un moyen assez efficace de caractériser les solutions "raisonnables".
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