Suite de rationnels et d'irrationnels qui tendent vers l'infini

Bonjour,
Comment construire une suite de rationnels et d'irrationnels qui tend vers $\pm \infty $ ?

Pour les rationnels je prends $x_n=2^n \longrightarrow + \infty$ et $y_n =-2^n \longrightarrow - \infty$.

Pour les irrationnels, je bloque 

Réponses

  • OShine a dit :
    Bonjour,
    Comment construire une suite de rationnels et d'irrationnels qui tend vers $\pm \infty $ ?

    Pour les rationnels je prends $x_n=2^n \longrightarrow + \infty$ et $y_n =-2^n \longrightarrow - \infty$.

    Pour les irrationnels, je bloque 
    Si $p$ n'est pas un carré parfait, alors $ \sqrt{p}$ est un nombre irrationnel, donc on peut facilement trouver une suite d'irrationnels qui tend vers $+ \infty$ et $- \infty$
  • Peut-être $2^{n+0,5}$
  • Rescassol
    Modifié (September 2024)
    Bonjour,

    $x_n=(1+\sqrt{2})^n$ est irrationel et tend vers $+\infty$.
    Ou encore $x_n=2^n+\pi$.

    Cordialement,
    Rescassol

  • Ou même $x_n = n \sqrt{2} $
  • samok
    Modifié (September 2024)
    $(\sqrt{2^n})_{n\in \mathbb{N}}$ convient si j'ai bien compris la phrase écrite en français ou le "et" a fait chavirer mon interpréteur interne.
  • gai requin a dit :
    $\pi^n$
    Le produit de 2 irrationnels est-il toujours irrationnel.
  • @Calembour
    Merci exemple simple et efficace.
    Le produit d'un irrationnel et d'un rationnel est irrationnel.
  • samok
    Modifié (September 2024)
    ah !? $\dfrac{1}{\pi}\times \pi$ est irrationnel ?
  • Bonsoir,

    Si $\pi^n$ était rationnel pour un certain $n$, $\pi$ serait algébrique, ça se saurait ...

    Cordialement,
    Rescassol

  • Rescassol a dit :
    Bonsoir,

    Si $\pi^n$ était rationnel pour un certain $n$, $\pi$ serait algébrique, ça se saurait ...

    Cordialement,
    Rescassol

    Je ne connais pas la théorie des nombres algébriques.
  • samok
    Modifié (September 2024)
    ah !?² $\sqrt{2}\times 0$ est irrationnel ?

  • OShine
    Modifié (September 2024)
    Rescassol a dit :
    Bonjour,

    $x_n=(1+\sqrt{2})^n$ est irrationel et tend vers $+\infty$.
    Ou encore $x_n=2^n+\pi$.

    Cordialement,
    Rescassol

    Ton premier exemple je ne sais pas pourquoi il est toujours irrationnel quelque soit $n$. Je sais seulement que $1+\sqrt{2}$ est irrationnel car $\sqrt{2}$ l'est.
    Pour le second il me semble plus simple, somme de rationnel et d'irrationnel donc il est irrationnel 
  • Rescassol
    Modifié (September 2024)
    Bonsoir,

    Il est facile de voir par récurrence que $(1+\sqrt{2})^n=a_n+b_n\sqrt{2}$ avec $a_n$ et $b_n$ entiers.

    Cordialement,
    Rescassol

  • rien à voir mais OShine,
    le O signifie le soleil et shine signifie briller en anglais
    ou par exemple tu t'appelles Olivier Shineau que tu as abrégé en OShine ?

    Mes amitiés aux mots des rateurs
  • Autre question possible:
    Expliciter, pour tout réel $x$, une suite de nombres irrationnels convergente de limite $x$.
  • Rescassol
    Modifié (September 2024)
    Bonsoir,

    $x_n=x+\pi^{-n}$.

    Cordialement,
    Rescassol

  • plsryef
    Modifié (September 2024)
    bonsoir,
    $x_n=(\mathbb{1}_{\mathbb{Q}}(x)x+\frac{\sqrt{2}}{n})\mathbb{1}_{\mathbb{Q}}(x)+((1-\mathbb{1}_{\mathbb{Q}})(x)x+\frac{2}{n})(1-\mathbb{1}_{\mathbb{Q}})(x)$.
    si x est l'opposé d'une puissance entière de l'inverse de $\pi$ ta suite ne marche plus @Rescassol .
  • ah c'est transposable avec des irrationnels complexes, cool.
    Merci d'avoir fait reculer mon ignorance infinie.
  • $x_n=2^n+\sqrt{2}$ et même chose…
  • plsryef
    Modifié (September 2024)
    @samok je te rassure, pour les personnes qui ne savent pas tout l'ignorance ne peut être qu'infinie. (cf, sinon le savoir est fini, et si il est fini n'y a qu'à tout explorer, et on arrivera à discerner immédiatement qui a raison ou tort). j'ose même imaginer qu'à un moment tu n'as jamais trollé, si ce n'est pas de l'ouverture d'esprit, je ne sais pas ce que c'est, j'imagine même que tu as d'autres choses à faire que d'embêter les modérateurs , si ça se trouve je suis "magnanime" mais dès qu'il y a des guillemets on peut y mettre ce que l'on veut.
  • NicoLeProf
    Modifié (September 2024)
    Pour l'histoire du $\pi^n$ irrationnel pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ (attention les experts à quantifier votre énoncé ;) ), ce n'est pas difficile à démontrer : 
    en effet, s'il existe un entier $n \in \mathbb{N}^*$ tel que $\pi^n$ est rationnel alors on peut écrire $\pi^n=\dfrac{a}{b}$ avec $a \in \mathbb{N}$ et $b \in \mathbb{N}^*$.
    Dès lors, $\pi$ est racine du polynôme $X^n-\dfrac{a}{b}$ à coefficients rationnels donc $\pi$ est algébrique : contradiction ($\pi$ n'est pas algébrique : il est transcendant, il n'est pas racine d'un polynôme à coefficients rationnels, il suffit de savoir cela) !
    Pour le second il me semble plus simple, somme de rationnel et d'irrationnel donc il est irrationnel 

    @OShine, tu as affirmé trop rapidement des trucs faux avant cette proposition (vraie cette fois), peux-tu la démontrer?

    Lorsque notre cher Gebrane, le 😄 farceur, intervient dans une question d'algèbre, c'est une véritable joie pour les lecteurs.


  • @bidule: sans connaitre la rationalité de $x$?
    The fish doesnt think. The Fish doesnt think because the fish knows. Everything. - Goran Bregovic
  • Calembour a dit :
    Ou même $x_n = n \sqrt{2} $
    Pour enlever tout mal de crâne à OShine, j'aurais même pris $n+\sqrt{2}$
    Comme me l'a appris ma maîtresse de CE2, tata Suzanne, dite Susu, $\{l,é,o\} \cap \{t,o,t,o\}=\{o\}$
  • Effectivement, ce que propose Rescassol ne convient pas (en toute généralité).

    @Soc :
    Tout à fait !
    Je pensais tout simplement à la chose suivante:
    pour tout $x\in\R$ , si on pose, pour tout $n\in\N$ , $u_n(x) := \displaystyle\frac{\lfloor nx\rfloor+\sqrt{2}}{n+1}$, alors $\left(u_n(x)\right)_{n\in\N}$ est une suite d'irrationnels convergente de limite $x$.
  • Rescassol
    Modifié (September 2024)
    Bonjour,

    Oui, précisons:  $x_n=x+\pi^{-n}$ si $x\in \mathbb{Q}$ et $x_n=x+2^{-n}$ sinon.

    Cordialement,
    Rescassol

  • NicoLeProf
    Modifié (September 2024)
    Oui, merci beaucoup pour ces messages très intéressants ! :)
    Et pour la première suite donnée par Rescassol avec $x \in \mathbb Q$, préciser : pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, sinon, nous n'avons pas une suite d'irrationnels.
    Lorsque notre cher Gebrane, le 😄 farceur, intervient dans une question d'algèbre, c'est une véritable joie pour les lecteurs.


  • @Bbidule Ok bien joué! Le compte n'était pas bon de mon côté...
    The fish doesnt think. The Fish doesnt think because the fish knows. Everything. - Goran Bregovic
  • gai requin
    Modifié (September 2024)
    @Bbidule : $x+\mathbb 1_{\Q}(x)\pi^{-(n+1)}$
  • La définition d'un nombre transcendant, et le fait que $\pi$ soit transcendant, c'est un truc qu'on n'apprend plus ?
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
    L'hypocrisie est pire qu'une vérité qui fait mal. Franck Ntasamara.
  • C’est souvent de la culture générale, a minima. 
  • Je ne m'y connais pas en nombre algébrique, transcendant.
    Et ce n'est pas dans les cours de prépa.
    L'exemple le plus simple est $x_n=n +\sqrt{2}$.

  • Bbidule a dit :
    Effectivement, ce que propose Rescassol ne convient pas (en toute généralité).

    @Soc :
    Tout à fait !
    Je pensais tout simplement à la chose suivante:
    pour tout $x\in\R$ , si on pose, pour tout $n\in\N$ , $u_n(x) := \displaystyle\frac{\lfloor nx\rfloor+\sqrt{2}}{n+1}$, alors $\left(u_n(x)\right)_{n\in\N}$ est une suite d'irrationnels convergente de limite $x$.
    Mais ici on est en train de redémontrer que le fait que $\Q$ est dense dans $\R$.
    On l'utilise directement dans le corrigé de la question 1 de l'exercice.
  • lourrran a dit :
    La définition d'un nombre transcendant, et le fait que $\pi$ soit transcendant, c'est un truc qu'on n'apprend plus ?
    Je n'ai jamais appris ça.
  • Bonjour,

    Ça fait partie de la culture générale, tout le monde le sait.

    Cordialement,
    Rescassol

  • Mais oui, je suis d'accord avec Rescassol, cherche sur internet OS, ça ne prend que très peu de temps et c'est très joli et très abordable au moins les défs de base.
    Lorsque notre cher Gebrane, le 😄 farceur, intervient dans une question d'algèbre, c'est une véritable joie pour les lecteurs.


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