Géodésiques

Amédé
Amédé
dans Géométrie différentielle
Bonjour,

je cherche à trouver les géodésiques dans le modèle du disque Poincaré avec la métrique Riemannienne $\dfrac{4}{(1-(x^2+y^2))^2}(dx^2+dy^2)=g(x,y)(dx^2+dy^2)$. On sait que ce sont les cercles perpendiculaires au bord et les diamètres du disque.

J'aimerai le montrer. Par exemple: j'obtiens des équations géodésiques du type:
$$\dfrac{d^2x^i}{dt^2}+\dfrac{2x}{1-(x^2+y^2}\left(\dfrac{dx^i}{dt}\right)^2=0\text{ ou }\dfrac{d^2x^i}{dt^2}\pm\dfrac{2x^i}{1-(x^2+y^2}\dfrac{dx}{dt}\dfrac{dy}{dt}=0$$

Avec $x^i=x$ ou $y$. Déjà c'est peut-être faux...

Est-ce qu'il existe dans la littérature un endroit où le calcul est fait. Ou alors une autre approche pour les calculer?

Bon week-end.

Réponses

  • Math Coss
    Math Coss
    Je pense que c'est plus facile avec le modèle du demi-plan, cf. p. 5 de ce texte par exemple.
  • Amédé
    Amédé
    @Math Coss Merci. Pour le demi plan, en effet, c'est assez facile. Ce qui m’intéresse est le disque et je ne trouve pas dans la littérature. Je vais chercher.
  • i.zitoussi
    i.zitoussi
    Est-ce que la preuve, à la fin de la page 3, de $\rho(z,z')=0\Longrightarrow z=z'$ est correcte ?
    Je précise que je ne connais rien à la géométrie hyperbolique. J'essaie d'apprendre à travers ce document, et je ne comprends pas leur argument, qui me semble en fait faux (je ne parle pas de la faute de frappe $t \mapsto tz′ + (1 − tz)$).
    Après je bloque.
  • Math Coss
    Math Coss
    Modifié (September 2024)
    @Amédé : Quitte à ne pas répondre à tes préoccupations..., une façon de s'en sortir à partir du demi-plan, c'est d'invoquer l'homographie $z\mapsto (z-\mathrm{i})/(z+\mathrm{i})$, qui envoie le demi-plan sur le disque et les cercles et droites orthogonaux à l'axe réel sur les cercles et droites orthogonaux au cercle unité.
    (Cela évite toute résolution d'équation différentielle, ce qui est un avantage ou un inconvénient, selon que l'on veut démontrer le résultat à n'importe quel prix ou s'entraîner à manipuler les métriques.)
    @i.zitoussi : c'est en effet bien douteux ; sans doute une légère confusion entre le sup et l'inf...
  • i.zitoussi
    i.zitoussi
    Merci pour la confirmation. Confusion légère et preuve franchement fausse. Un peu surpris.
    Après je bloque.
  • Amédé
    Amédé
    @Math Coss : Bonjour, oui en effet ils sont même isométriques. Donc les géodésiques sont conservées. Mais j'avais envie de résoudre des équations différentielles. Merci :)
  • matheuse_dynamique
    matheuse_dynamique
    Amédé a dit :
    @Math Coss : Bonjour, oui en effet ils sont même isométriques. Donc les géodésiques sont conservées. Mais j'avais envie de résoudre des équations différentielles. Merci :)

    C'est courageux. Mais il y a surement d'autres exos d'équa diff. Je n'ai jamais vu de démonstration directe dans le disque.

    Il est d'usage de penser géométriquement dans le disque, et de calculer dans le demi plan. Voir par exemple ce texte http://perso.ens-lyon.fr/ghys/articles/disque-poincare.pdf

    Le disque et le demi plan sont isométriques via z\to (z-i)/(z+i).
    Dans le demi plan on montre aisément que les demi droites verticales sont des géodésiques.
    Puis, en faisant agir le groupe des homographies, qui préservent la métrique, on voit que les demi cercles orthogonaux au bord sont des géodésiques.
    Par unicité (Cauchy Lipschitz) de la géodésique passant par un point donné et de vecteur tangent donné, on termine la preuve immédiatement.

  • pldx1
    pldx1
    En résumé: "louons Dieu d'avoir fait passer les fleuves au milieu des villes" . Petit exercice pour tester la bénévolence divine:  \[ g(x,y)\doteq\dfrac{4}{(1+(x^{2}+y^{2}))^{2}} \] 
    Cordialement, Pierre.
  • pldx1
    pldx1
    Modifié (October 2024)
    Bonjour.
    Considérant que les "belles géodésiques" ne viennent pas d'un choix miraculeux de la métrique, j'ai déplacé la suite de mon post vers le sous-forum géométrie. (ici)
    Cordialement, Pierre.
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