compact K_n

Bonjour,
  Non ça "tend" vers le complémentaire de $ \partial \Omega $. Edit, c'est ok, j'avais lu $x\in \mathbb{C}$ au lieu de $x \in \Omega$
 

Si $\Omega$ est un disque ouvert, est-ce que selon toi son bord est dans $\Omega$ ?

Exact. De façon générale, le bord d'un ouvert n'intersecte jamais l'ouvert en question car par définition,  $\partial\Omega=\overline{\Omega}\setminus \Omega$.

Pour ta question initiale, si pour toi $K_{\infty}$ est par définition $\bigcup_n K_n$, alors il est évident que $K_{\infty}\subset \Omega$ vu que pour tout entier $n$, $K_n\subset \Omega$. Pour montrer que $\Omega\subset \bigcup_n K_n$ il faut juste se rappeler que le bord est un fermé et donc que $d(z,\partial\Omega)>0$ pour tout $z\in \Omega$, donc forcément pour un $z\in \Omega$ donné, lorsque $n$ est assez grand on aura $d(z,\partial\Omega) \ge 1/n$.