La famille $(p_0, p_1 \cdots, p_n)$ est une base de $\mathbb{K_n}[X]$

Amadou
Amadou
Modifié (July 2024) dans Algèbre
Bonjour ! Exos 4) a) des indications pour bien démarrer.
Exos 5) a) Je connais la définition qui me permet de montrer que tel famille est une base mais par contre là avec la famille $(p_0,p_1,\cdots, p_n)$. Je ne me vois pas comment je pourrais montrer que tous les $\lambda$ sont nuls dans la formule suivante. J'ai pensé à calculer $P_k(X)=X^k(1-X)^{n-k}$ pour $0\leqslant k \leqslant n$ et additionnant les, et ensuite chercher des facteurs commun mais je ne me vois plus comment je pourrais avancer.


Soient $\lambda_0, \lambda_1, \cdots, \lambda_n \in \mathbb{K_n}[X]$. Montrons que $\sum_{i=0} ^n \, \lambda_i p_i=0$ est une famille libre.
« Il faut parfois compliquer un problème pour en simplifier la solution. »

Réponses

  • nicolas.patrois
    nicolas.patrois
    Que se passe-t-il si tu remplaces X par 0 dans ta somme ?
    The real danger is not that computers will begin to think like men, but that men will begin to think like computers.
            -- Harris, Sidney J.
  • DeGeer
    DeGeer
    Bonjour 
    Tu commences mal. Il faut prendre des $\lambda_0$ ... $\lambda_n$ dans $\mathbb{K}$ tels que $\lambda_0 P_0 + ... +\lambda_n P_n =0$ et montrer que tous ces coefficients sont nuls.
  • Titi le curieux
    Titi le curieux
    Bonjour,
    Une indication pour la 4.a : l'information intéressante pour répondre à cette question n'est pas le fait que $P'$ divise $P$.
  • bisam
    bisam
    Modifié (June 2024)
    Pour la 5a), tu peux arguer que les valuations des polynômes sont toutes différentes (et aucun de ces polynômes n'est nul) donc c'est une famille libre.
    Dit autrement, la matrice de cette famille dans la base canonique de $\mathbb{K}_n[X]$ est triangulaire avec des coefficients non nuls sur la diagonale, ce qui permet de trouver directement le rang de la famille.
  • LoanSupOp
    LoanSupOp
    Modifié (June 2024)
    Soit $P(X) = \sum_{k=0}^{n}a_kX^k$. La racine de $P^{(n-1)}$ est $-\frac{a_{n-1}}{na_n}$.
  • Amadou
    Amadou
    Salut tout le monde ! Je suis trop content d'être de retour parmi vous après avoir été absent pendant trop un mois à cause de trucs perso.
    « Il faut parfois compliquer un problème pour en simplifier la solution. »
  • gebrane
    gebrane
    Modifié (September 2024)
    -

    Pour démontrer que la famille des polynômes \( X^k(1-X)^{n-k} \) pour $k=0\cdots n$ est une base de \( K_n[X] \), C'est simple :

    Je  considère l'endomorphisme \(\phi(P) = XP + \frac{X - X^2}{n}P'\).  
    On montre que les valeurs propres de \(\phi\) sont distinctes, donc les vecteurs propres de \(\phi\) constituent une base de \( K_n[X] \), et justement un petit calcul montre que les vecteurs propres sont la famille des polynômes \( X^k(1-X)^{n-k} \) pour $k=0\cdots n$ 

    Qui sait d'où vient ce raisonnement ? 
    Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..


  • i.zitoussi
    i.zitoussi
    Modifié (September 2024)
    😱  😯  🙃
    Quand j'ai lu le premier de ces fils, je me demandais comment ça pourrait être mis en oeuvre en pratique. Et voilà ! merci @gebrane.
    Après je bloque.
  • gebrane
    gebrane
    Bingo :mrgreen:
    Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..


  • plsryef
    plsryef
    Modifié (September 2024)
    On peut aussi invoquer le fait que que $(f_i)_{1\leq i \leq n+1 }$ où $f_i: \mathbb{K}_n[X]$,$P \mapsto \frac{d^iP}{dx^{i-1}}(0), 1\leq i\leq n+1$ est une famille libre de $ \mathbb{K}_n[X]^*$ via le dévellopement de Taylor (qui dans ce cas est une égalité) restreint aux polyômes de degré n au plus par exemple et remarquer que la matrice $A=(a_{ij})_{1\leq i, j\leq n+1}$  où $a_{ij}=f_i(p_i)$ où $p_i=X^i(1-X)^{n-i}, 1\leq i \leq n+1$ est une matrice à diagonale dont les coefficients sont non nuls (sauf les sous diagonales ou-exclusif les  surdiagonales), les autres nuls, donc de rang n+1. (ça fonctionne aussi en évaluant des dérivées en 1).
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