Montrer que $\Phi$ est un endomorphisme de $K_n[X]$

Dr_Piradian
Dr_Piradian
Modifié (September 2024) dans Algèbre
Soit $n\in\mathbb{N}^*$ fixé. Pour tout polynôme $P\in K[X]$ on pose $\Phi(P)=XP+\dfrac{X-X^2}{n}P'$
Je dois démontrer que $\Phi$ est un endomorphisme de $K_n[X]$
Il me semble que pour ce faire il faut démontrer entre autres que
$\Phi(P+Q)=\Phi(P)+\Phi(Q)$
$\Phi(PQ)=\Phi(P)\Phi(Q)$
$\Phi(kP)=k\Phi(P)$

J'ai essayé de démontrer que $\Phi(P+Q)=\Phi(P)+\Phi(Q)$ mais je me casse les dents. Est-ce que quelqu'un peut m'aider ? Merci.
"La langue française ne mourrira jamais"

Réponses

  • DeGeer
    DeGeer
    Bonjour 
    Il n'y a pas besoin de l'égalité du milieu pour la linéarité. Pour l'additivité, où est-ce que tu bloques?
  • i.zitoussi
    i.zitoussi
    Ta deuxième égalité $\Phi(PQ)=\Phi(P)\Phi(Q)$ n'a rien à voir avec la linéarité. Seules la première et la troisième font partie de la définition.
    Après, difficile de croire que tu n'arrives pas à montrer $\Phi(P+Q)=\Phi(P)+\Phi(Q)$. Où est-ce que ça bloque ?
    Après je bloque.
  • gebrane
    gebrane


    $\Phi(P + Q) = X(P + Q) + \frac{X - X^2}{n}(P + Q)'= X(P + Q) + \frac{X - X^2}{n}(P' + Q').= XP + XQ+ \frac{X - X^2}{n}P' + \frac{X - X^2}{n}Q'= \left( XP + \frac{X - X^2}{n}P' \right) + \left( XQ +\frac{X - X^2}{n}Q' \right) = \Phi(P) + \Phi(Q).$
    J'ai une question c'est quoi le spectre de $\Phi$?

    Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..


  • Dr_Piradian
    Dr_Piradian
    ah d'accord, je bloquais parce que j'avais écrit la substitution $(PQ)'$ au lieu de $(P+Q)'$. Oui forcément je risquais pas de trouver.
    "La langue française ne mourrira jamais"
  • OShine
    OShine
    Ça me semble assez simple.

  • bd2017
    bd2017
    Modifié (September 2024)
    Bonjour
    Les valeurs propres sont $$\dfrac{j}{n},j=0,...,n$$
    Les vecteurs propres sont  $p_j(x)=(1-x)^{n-j} x^j,j=0,...,n$
    $\Phi$ est diagonalisable.
     
  • Math Coss
    Math Coss
    Avant de vérifier la linéarité, il serait bon de vérifier que l'image d'un polynôme de degré $\le n$ est bien un polynôme de degré $\le n$. Vu que la formule fait apparaître $XP$ et $X^2P'$ qui peuvent être de degré $n+1$, la vérification est nécessaire.
  • i.zitoussi
    i.zitoussi
    Modifié (September 2024)
    Pourquoi ? $\Phi$ a été défini sur $K[X]$ tout entier. Donc on peut très bien vérifier la linéarité, puis le fait que $\Phi$ préserve $K_n[X]$. Dans l'autre sens c'est beaucoup plus compliqué voire impossible (OShine l'a fait !) il me semble.
    Après je bloque.
  • OShine
    OShine
    Math Coss a dit :
    Avant de vérifier la linéarité, il serait bon de vérifier que l'image d'un polynôme de degré $\le n$ est bien un polynôme de degré $\le n$. Vu que la formule fait apparaître $XP$ et $X^2P'$ qui peuvent être de degré $n+1$, la vérification est nécessaire.
    C'est ce que j'ai fait.

  • JLapin
    JLapin
    Modifié (September 2024)
    En revanche, tu as oublié $\lambda Q$ dans ta preuve de la linéarité...

    Ok, c'était simplement une réponse à la question posée.
  • Math Coss
    Math Coss
    J'avoue ne pas avoir lu la réponse d'@OShine avant d'écrire, la remarque sur la stabilité de $K_n[X]$ s'adressait à @Dr_Piradian qui assurément n'en a pas parlé.
    Linéarité puis stabilité, OK si commence par noter que $\Phi$ est la restriction d'une application de $K[X]$ dans $K[X]$ : ce n'est pas dans l'énoncé (même si ça ne fait pas mystère...) ; par ailleurs je ne crois pas que ça simplifie significativement.
  • DeGeer
    DeGeer
    Pour la question du degré, la question initiale postée dans le titre du message ne parlait que de linéarité alors que le corps du message contenait la question telle qu'elle est maintenant, mais l'OP a modifié le titre du sujet après coup.
  • i.zitoussi
    i.zitoussi
    Modifié (September 2024)
    Un peu quand même, car une fois qu'on a prouvé la linéarité, pour prouver que $\Phi$ préserve $K_n[X]$, il suffit de le vérifer pour tout $X^i$ ($i\leq n$), ce qui est nettement plus court que ce qu'OShine a fait. Mais bon, c'est vrai, c'est un détail.

    Après je bloque.
  • gebrane
    gebrane
    bd2017 tu es exceptionnel, tu as fait polytechnique ?
    Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..


  • bd2017
    bd2017
    Modifié (September 2024)
    Non mais j'ai eu mon BAC    :) !  

    Édit: il faut dire le terme $(x-x^2)$ s'annule en $x=0$ et $x=1$, ce qui peut aider à la recherche des éléments propres.
     
  • Dr_Piradian
    Dr_Piradian
    Math Coss a dit :la remarque sur la stabilité de $K_n[X]$ s'adressait à @Dr_Piradian qui assurément n'en a pas parlé.
    Je n'en ai pas parlé, mais j'ai malgré tout utilisé l'expression "entre autres", ce qui montre bien que je ne l'avais pas totalement exclu de mon esprit.

    "La langue française ne mourrira jamais"
  • Math Coss
    Math Coss
    Modifié (September 2024)
    Je suis tout à fait prêt à t'accorder le bénéfice du doute, d'autant que nous ne sommes pas dans une situation d'évaluation ! Trop de commentaires sur ma remarque : si tout le monde est d'accord (et aware), elle devient ipso facto inutile...
    Bref, si vous le voulez bien, suivons @bd2017 et parlons valeurs propres... La matrice de $\Phi$ dans la base canonique est triangulaire supérieure, voyez-vous pourquoi ?
  • bd2017
    bd2017
    Modifié (September 2024)
    Oui, je vois pourquoi! Intéressant car une autre façon (simple)  de trouver les valeurs propres .

    @Oshine pour montrer "la stabilité"  il suffit de regarder le terme de plus haut degré de $\phi(P).$ Il est donné par le terme de plus haut degré de $P.$  Cela se fait de tête et le tout en une seule ligne.  Autrement dit il suffit de regarder $\phi(X^n).$
     
  • gebrane
    gebrane
    Modifié (September 2024)
    Math Coss a dit :

    Bref, si vous le voulez bien, suivons @bd2017 et parlons valeurs propres... La matrice de $\Phi$ dans la base canonique est triangulaire supérieure, voyez-vous pourquoi ?
    L'action de $\phi$ sur un monôme est  , $$\Phi(X^k) = \frac{k}{n} X^k + \left(1 - \frac{k}{n}\right) X^{k+1}$$ donc la matrice de $\Phi$ dans a base canonique de $K_n[X]$ est 

    $$ \begin{pmatrix}0 & 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\0 & \frac{1}{n} & 1 - \frac{1}{n} & 0 & \cdots & 0 \\0 & 0 & \frac{2}{n} & 1 - \frac{2}{n} & \cdots & 0 \\0 & 0 & 0 & \frac{3}{n} & 1 - \frac{3}{n} & 0 \\\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & \frac{n-1}{n} & 1 - \frac{n-1}{n} \\0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1\end{pmatrix}^T.$$

    Les vp sont distinctes ( se trouvent sur la diagonale) donc $\Phi$ est diagonalisable 

    Un autre développement ? 
    Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..


  • i.zitoussi
    i.zitoussi
    @gebrane On n'a pas les mêmes conventions ! La première colonne de $\Phi$ représente le vecteur $\Phi(1)$, la deuxième $\Phi(X)$, etc...
    Après je bloque.
  • gebrane
    gebrane
    Modifié (September 2024)
    Le symbole de la transposition n'apparaissait pas dans mon latex , je le corrige.
    Je laisse @Dr_Piradian se charger des vecteurs propres ( Intéressant)


    Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..


  • gebrane
    gebrane
    Puisque personne ne s'intéresse , je donne les vecteurs propres et confirme les résultats de bd2°17
    Soit $P \neq O$  un vecteur propre associé à la valeur propre $\lambda=\frac kn$ alors $\Phi(P)=\frac kn P$ d'où une jolie équation différentielle linéaire d'ordre  1
    $$(nX-k)P+(X-X^2)P'=O$$. Puisque je suis paresseux, j'ai opté pour la sous-traitance.
    Un coup de wolfram donne   $$P(X)=cX^k(1-X)^{n-k}$$
    Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..


  • Math Coss
    Math Coss
    Vu comme ça, ce n'est pas si difficile : il s'agit de décomposer en éléments simples \[\frac{P'}{P}=\frac{nX-k}{X(1-X)}=\frac{k}{X}-\frac{n-k}{1-X}\] qui s'intègre (salement il faut dire) en $\ln P=\ln X^k+\ln(1-X)^{n-k}+C$.
  • i.zitoussi
    i.zitoussi
    Oui c'est ennuyeux de passer par le log alors que dans le monde des polynômes il n'y en a pas.
    Pour l'éviter on peut utiliser : si $P=\prod_i(X-a_i)^{m_i}$ (avec les $a_i$ deux à deux distincts), alors $\frac{P'}{P} = \sum_i \frac{m_i}{X-a_i}$. Ensuite on peut procéder par identification des pôles : les couples $(a_i,m_i)$ sont $(0, k)$ et $(1,n-k)$.


    Après je bloque.
  • Math Coss
    Math Coss
    C'est plus propre mais le tout, c'est de deviner les vecteurs propres.
  • i.zitoussi
    i.zitoussi
    C'est ce que je me disais en l'écrivant. C'est plus propre, mais beaucoup moins intuitif.

    Comme le fil a l'air d'être fini, je me permets de le continuer dans ce sens.
    Soit $D$ l'opérateur de dérivation ($DP=P'$).
    Question : Quelles sont les paires $(A_0, A_1)$ de polynômes telles que l'opérateur $A_1D+A_0$ admette un noyau non nul?
    (donc pour lesquelles il existe $P$ tel que $A_1P'+A_0P = 0$)
    Après je bloque.
  • gebrane
    gebrane
    Modifié (September 2024)
    Question difficile, Je prends l équation $$AP'- BP = 0\quad \text{ dans }\, \mathbb K[X]$$
    D'abord  de $AP'=BP $ , on a  $d°A +d°P -1=d°B + d°P$  d'où $d°A =d°B +1$
    L'équation s'écrit   $$\frac{P'}{P}=\frac B A$$
    Condition suffisante Si la DES de la fraction s'ectit $\frac B A=\sum_{k=1}^m \frac{\alpha_i}{X-x_i}$ avec $\alpha_i\in\N$ et $x_i\in \R$, c'est gagné $$P(X)=c\prod_{k=1}^m (X-x_i)^{\alpha_i}$$

    edit 1 $\alpha_i\in\Q$ suffit, car il existe un entier $m$ tel que $m\alpha_i\in \N, \forall i=1\cdots m$
    edit 2 La condition n'est pas nécessaire, $B(x)=2x,\,  A(x)=x^2+1$
    Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..


  • i.zitoussi
    i.zitoussi
    @gebrane Désolé, j'aurais du plus réfléchir à la question avant de la poser, car elle fait pas mal tourner en rond. Je crois que ce qui m'intéressais surtout est : est-ce qu'il est possible qu'un opérateur de la forme $AD-B$ (tes notations au lieu de mon $A_1D+A_0$), vu comme un opérateur sur $\mathbb K[X]$ tout entier, admette une base de vecteurs propres (c'est-à-dire soit diagonalisable) ? J'ai l'impression que la réponse est non mais ça m'a l'air compliqué...
    Ce qui me fait boguer c'est que l'opérateur du fil, vu comme un opérateur sur $\mathbb K[X]$ tout entier, est triangulaire inférieur dans la base canonique, les termes diagonaux sont tous distincts, et pourtant avec le raisonnement de @Math Coss on voit qu'il n'a que $(n+1)$ vecteurs propres indépendants.
    Si on prend $\mathbb K = \R$ et on change $n$ en $\nu\in \R^*$, et on considère l'opérateur $\Phi_\nu (P) = XP+\frac{X-X^2}{\nu}P'$, alors l'équation aux valeurs propres $\Phi_\nu P=\lambda P$ donne $$ \frac{P'}{P} = \nu\, \left(\frac{\lambda}{X} + \frac{1-\lambda}{X-1}\right)$$ qui n'a de solution que lorsque $\nu\in\mathbb N^*$ et dans ce cas les valeurs propres sont celles du fil.
    Après je bloque.
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