Polynômes harmoniques (Laplacien discret)

i.zitoussi
i.zitoussi
dans Algèbre
Ce fil fait suite à celui d'etanche : Equation fonctionnelle 2 septembre 2024 ; voir aussi le fil plus ancien : Problème de Dirichlet discret.
Soit $\mathcal H\subset \R[x,y]$ le sous-espace vectoriel des polynômes à deux variables, harmoniques pour le Laplacien discret, et $\mathcal H_{\leqslant n} \subset\mathcal H$ le sev des polynômes harmoniques de degré $\leqslant n$.
J'ai lu quelque part que $\boxed{\mathrm{dim}\,\mathcal H_{\leqslant n} = 2n+1}$, mais n'ai pas réussi à trouver de référence.
Je pense avoir réussi à le démontrer, et à construire explicitement une base de $\mathcal H$.
Donc : si vous arrivez à trouver des références, ça m'intéresse, et si vous arrivez à trouver une base, ça m'intéresse aussi, car la mienne est un peu compliquée et il y en a peut-être des mieux.
Après je bloque.

Réponses

  • gebrane
    gebrane
    Dear i.zitoussi, Look at Theorem 6 on page 21 of this document; it gives a more general result (polynomials in several variables). In the case that interests you, you replace \( n \) by 2 (for polynomials in two variables), and you get \( 2k+ 1 \).
    Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..


  • JLapin
    JLapin
    Modifié (September 2024)
    Le sujet suivant le fait établir en quelques questions dans la partie 4.

  • i.zitoussi
    i.zitoussi
    @gebrane Merci. Dans ton document, il y a bien la combinatoire, mais l'auteur ne donne pas de base explicite.
    Par contre le lemme 2 (page 20 du document, page 28 du pdf), semble répondre exactement à une question que je voulais poser plus tard. Une fonction harmonique $f:\Z^2\to \R$ est entièrement définie par ses restrictions $f_0$ à $(\Z,0)$ et $f_1$ à $(\Z,1)$. Ma question était : à quelles conditions sur $f_0$ et $f_1$ la fonction harmonique induite $f$ est-elle polynomiale ? Apparemment il n'y a pas de condition, si ce n'est que $f_0$ et $f_1$ soient polynomiales en $x$ (cette condition est évidente).
    @JLapin J'ai peut-être mal lu, mais ton sujet de concours semble parler du Laplacien continu, et pas du discret.
    Après je bloque.
  • JLapin
    JLapin
    Oui, j'ai lu trop vite le message initial.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.

Bonjour!

Pour participer au forum, cliquer sur l'un des boutons :

Connexion S'inscrire

Catégories

In this Discussion

Français