Existence de base étrangère

Chaurien
Chaurien
Modifié (September 2024) dans Algèbre
Un copain m'a posé le problème suivant.
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 Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie et soit $F$ un sous-espace de $E$, autre que $E$. Démontrer qu'il existe une base de $E$ constituée de vecteurs qui ne sont pas éléments de $F$.
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Ce n'est pas très difficile et je pense que de nombreux forumeurs trouveront rapidement. C'est quand même un bon exercice pour élèves de Math-Sup,  qui ne se réduit pas à une application immédiate des théorèmes du cours et demande quelque initiative.
J'ai eu la curiosité de regarder la version euclidienne.
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 Soit $E$ un espace vectoriel euclidien de dimension $n \ge 2$ et soit $F$ un sous-espace de $E$, autre que $E$. Démontrer qu'il existe une base orthonormale de $E$ constituée de vecteurs qui ne sont pas éléments de $F$.
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J'ai trouvé, mais de façon pour ainsi dire indirecte, au moyen d'un lemme qui n'est pas très difficile, mais pas totalement immédiat, dont nous avions parlé il y a quelque temps. Je vous soumets ce problème  à toutes fins utiles.
Bonne soirée.
Fr. Ch.

Réponses

  • gai requin
    gai requin
    1) Soit $n=\dim E$ et $e$ une base de $E$ telle que $(e_1,\ldots,e_p)$ soit une base d'un supplémentaire de $F$ et $(e_{p+1},\ldots e_n)$ soit une base de $F$.
    Alors $(e_1,\ldots,e_p,e_{p+1}+e_1,\ldots,e_n+e_1)$ est une base de $E$ dont les vecteurs ne sont pas dans $F$.
  • MrJ
    MrJ
    Modifié (September 2024)
    Voici une solution non constructive dans le cas réel ou complexe. On peut aussi utiliser que $E^{n-1}\times F$ où $n=\dim(E)$ est un fermé d’intérieur vide de $E^n$. On en déduit qu’il existe un fermé d’intérieur vide de $E^n$ contenant toutes les bases de $E$ ayant un élément de $F$. On en conclut que presque toute base de $E$ convient. :D
  • dSP
    dSP
    Cela peut se faire joliment en retournant la situation, à savoir à partir d'une base (respectivement une base orthonormée) construire un sous-espace vectoriel strict de dimension imposée et qui ne contient aucun vecteur de cette base. Cela fait, on utilise la transitivité de l'action naturelle du groupe linéaire (respectivement du groupe orthogonal) sur l'ensemble des sous-espaces vectoriels de dimension $d$ (où $d$ est donné et compris entre $0$ et la dimension de l'espace ambiant).
  • JLT
    JLT
    Plus généralement, si $U$ est un ouvert dense de $E$ alors il existe une base orthonormale $(e_1,\ldots,e_n)$ de $E$ telle que $\forall i,\; e_i\in U$. Pour cela on montre que pour tout $i$, l'ensemble $V_i=\{A\in O(n)\mid Ae_i\in U\}$ est un ouvert dense, et donc $\cap_i V_i$ est un ouvert dense de $O(n)$.
  • Chaurien
    Chaurien
    Modifié (September 2024)
    Bravo pour ces belles généralisations. Ma solution est plus terre-à-terre.
     • Pour les deux problèmes, j'observe qu'un sous-espace de $E$, autre que $E$, est inclus dans un hyperplan, et qu'il suffit donc de prouver l'assertion pour un sous-espace $F$ qui est un hyperplan.
     • Premier problème, cas général. Soit $E$ de dimension $n$, soit $F$ un hyperplan de $E$, soit $(e_1, e_2,..., e_{n-1})$ une base de $F$, et soit $e_{n}\in E\backslash F$. Pour $i \in \{1,2,...,n-1\}$, soit $e'_i=e_i+e_n$, qui sont éléments de $ E\backslash F$. La famille $(e'_1,e'_2, ...,e'_{n-1}, e_n)$ est libre, c'est donc une base de $E$, constituée de vecteurs qui ne sont pas éléments de $F$.
  • Chaurien
    Chaurien
    Modifié (September 2024)
     • Second problème, cas euclidien. Comme j'ai dit je vais chercher un lemme peut-être saugrenu.
    Lemme. Dans un espace vectoriel euclidien de dimension $d\in \mathbb{N}^{\ast }$, il existe une famille de vecteurs $(u_{1},u_{2},...,u_{d+1})$, dite famille équiangulaire, telle que $\left\Vert u_{i}\right\Vert =1$ et $\left( u_{i}\mid u_{j}\right) =-\frac{1}{d}$ pour $i\neq j$.
    On en a parlé : https://les-mathematiques.net/vanilla/discussion/2329860/egalite-dans-un-espace-prehilbertien
     • Soit $E$ un espace vectoriel euclidien de dimension $ n \ge 2$ et soit $F$ un hyperplan de $E$. D'après le lemme, il existe une famille de vecteurs $(u_{1},u_{2},...,u_{n})$ éléments de $F$ tels que $\left\Vert u_{i}\right\Vert =1$ et $\left( u_{i}\mid u_{j}\right) =-\frac{1}{n-1}$ pour  $i\neq j$.
    Soit $u\in F^{\perp }$, $\left\Vert u\right\Vert =1$. 
    Pour $i\in \{1,2,...,n\}$ soit $e_{i}=\frac{1}{\sqrt{n}}u+\sqrt{\frac{n-1}{n}}u_{i}$, qui est élément de $E\backslash F$.
    Alors déjà : $\left\Vert e_{i}\right\Vert ^{2}=\frac{1}{n}+\frac{n-1}{n}=1$.
    Et de plus pour $i\neq j$, on a : $\left( e_{i}\mid e_{j}\right) =(\frac{1}{\sqrt{n}}u+\sqrt{\frac{n-1}{n}}u_{i}\mid \frac{1}{\sqrt{n}}u+\sqrt{\frac{n-1}{n}}u_{j})=\frac{1}{n}+\frac{n-1}{n}(-\frac{1}{n-1})=0$.
    La famille $(e_{1},e_{2},...,e_{n})$ est une famille orthonormale de vecteurs de $E$, donc une famille libre, et finalement une base orthonormale de $E$, et elle est constituée de vecteurs qui ne sont pas éléments de $F$.
     • Comme j'ai dit, c'est vraiment indirect et donc pas très joli. C'est une approche géométrique plus qu'algébrique. J'ai eu la vision de cette base orthonormale avec son axe central (somme de ses vecteurs) orthogonal à l'hyperplan, qui se projette sur celui-ci selon une famille équiangulaire. Dès qu'il y a de l'euclidien, il y a de la géométrie, comme ce nom l'indique.
    Bonne soirée.
    Fr. Ch.
  • JLapin
    JLapin
    J'avais effectivement la même vision pour le cas euclidien.
  • raoul.S
    raoul.S
    On peut généraliser au cas des espaces de Hilbert. On devrait avoir : 

    Soit $F$ un hyperplan fermé d'un Hilbert $H$, alors : 
    1) si $H$ est séparable il existe une base hilbertienne qui n'intersecte pas $F$
    2) si $H$ n'est pas séparable, c'est faux en général.
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