Décroissance des intégrales de Wallis, SANS utiliser sin ou cos

Hmmm, directement je ne vois pas comment intercaler les impairs et les pairs. Et par récurrence je retombe sur le même type de soucis que lorsque j'essaie de montrer que $W_{n+2} \leq W_{n+1} \leq W_n$

Effectivement Calembour, ça va fonctionner ainsi.
Je n'y avais pas pensé en première approche parce que l'étude usuelle démarre toujours par les variations, avant de passer aux grosses formules avec les factorielles.

Bizarre tout de même que l'on n'arrive pas à démontrer la décroissance uniquement à partir des premiers termes et de cette relation de récurrence d'ordre 2 ?!

gebrane a dit :

GuYem a dit :

Effectivement Calembour, ça va fonctionner ainsi.

Donne les détails

Finalement non, pas mieux avec les expressions factorielles. Je pensais que ça allait bien se simplifier mais c'était sans compter que dans $W_{2n}$ le $(2n)!$ est au numérateur ; alors que dans $W_{2n+1}$ le $(2n+1)!$ est au dénominateur.
Le quotient ne simplifie donc pas les factorielles, mais les multiplie entre elles.

Si l'on simplifie ces factorielles avec les $\left(2^n n!\right)^2$, ce qui revient à défaire les expressions explicites démontrées par récurrence, on retombe sur les mêmes soucis que précédemment. Pas mieux donc pour le moment en utilisant les expressions explicites.

Point intéressant : un peu de programmation montre que les variations sont très sensibles à la valeur de $W_0$ : 
- Avec $W_0 = \frac \pi 2$ : décroissance comme on le sait.
- Avec $W_0 = 1,56 < \frac \pi 2$ : dents de scie à partir de $W_{73}$.
- Avec $W_0 = 1,58 >\frac \pi 2$ : dents de scie à partir de $W_{86}$.

La preuve de la décroissance, sans passer par les intégrales et sinus/cosinus comme évoqué ici, devrait donc faire intervenir un contrôle assez fin entre $W_0$ et $\frac \pi 2$.

gebrane, tu étais arrivé à quelque chose avec ton "idée folle" $W_{2n+3} \leq W_{2n+2} \leq W_{2n+1} \leq W_{2n}$ ?

Merci à tous pour vos commentaires.
Quelques réponses : 

 JLapin/i.zitoussi : effectivement la suite semble décroissante ssi $W_0 = \frac \pi 2$, d'où une "nouvelle" définition de $\pi$. L'approche de $\pi$ par dichotomie via cette équivalence semble intéressante, mais je ne vois pas non plus comment la mettre en forme de façon algorithmique.

Héhéhé : CPGE Économique et Commerciale Générale, avec option maths appliquées (anciennement CPGE après bac ES). Aucune fonction trigo au programme, mais on fait tout de même des équivalents, séries, DL et tout ce qui en suit.

gebrane : utiliser la suite constante pour ramener la décroissance à $W_n^2 \leq \frac{\pi}{2n} \forall n \geq 1$ semble en effet une bonne idée.
Cependant je n'arrive pas à passer l'hérédité de la récurrence à deux pas qui démontrerait cette inégalité (encore des histoires de quotient pas du bon côté de 1...)
Et j'ajoute que je crois que ça ne passera pas, à la lumière de la discussion sur la valeur de $W_0$ : l'initialisation à $n=1$ et $n=2$ est valable dès que $W_0 \leq \frac \pi 2$. Si l'hérédité passait, alors la suite serait décroissante même si $W_0 < \frac \pi 2$, contradiction.

john_john : Sûr que l'on évite ainsi les sinus, la décroissance et la relation de récurrence doivent venir vite. Mais je ne vois plus notre $W_0 = \frac \pi 2$ dont j'aurai pourtant besoin au final : le but du jeu reste comme souvent de calculer la constante dans Stirling...

Concernant le programme ECG maths appliquées, oui c'est assez étonnant : pas de trigo, pas de nombres complexes, les cas $\Delta<0$ dans les trinômes, et les suites récurrentes linéaires d'ordre 2, ne sont pas au programme ; comprendre que ça ne tombe jamais aux concours.

Concernant la présence de $\pi$, il ne faut pas non plus couper les cheveux en quatre : valeur abordée au collège/lycée, et les étudiants ne sont pas choqués lorsqu'on l'utilise.


Je précise la remarque que je faisais à la proposition des john_john. Mon objectif final est de trouver la valeur de la constante $C$ dans Stirling $n! \sim \frac{Cn^n\sqrt n}{e^n}$ via la méthode "usuelle" par les intégrales de Wallis, mais sinus/cosinus interdits !

En définissant la suite de Wallis via $W_n = \int_0^1 \left(\sqrt{1-t^2}\right)^{n-1}\ dt,\ n \geq 1$, on peut avoir : 

* la décroissance de la suite (en ce sens, cela répond bien au problème initial).
* la relation de récurrence $W_{n+2} = \frac{n+1}{n+2} W_n$, et donc l'expression factorielle de $W_{2n}$ et autres résultats usuels nécessaires à ce calcul de $C$.

Cependant on ne peut pas calculer $W_0$ : la convergence de l'intégrale généralisée $\int_0^1 \frac 1{\sqrt{1-t^2}}\ dt$ est envisageable, mais pour sa valeur je ne vois pas d'autres moyens que de reposer $t=\sin(x)$ ; non. Et comme tu le disais, le calcul de $W_2$, ou $W_4$ etc.. est inenvisageable sans trigo.

Ainsi l'expression factorielle de $W_{2n}$ fera intervenir $W_2$, au lieu du $W_0$ habituel ; et après mélange avec Stirling on obtiendra la valeur de $C$ en fonction de $W_2$ ; ce qui n'est pas franchement satisfaisant. On a donc troqué la possibilité de montrer la décroissance, contre la valeur de $W_0$, ce qui empêche toujours d'atteindre le résultat.

i.zitoussi a dit :

Curieux ! Serait-ce une nouvelle définition de $\pi$ ?

J'ai aussi fait des tests numériques et pour $W_0=\frac{\pi}{2}+\varepsilon$ l'indice où la suite cesse d'être décroissante est :
$\varepsilon = 10^{-1}$ : 10
$\varepsilon = 10^{-2}$ : 80
$\varepsilon = 10^{-3}$ : 786
$\varepsilon = 10^{-4}$ : 7856
$\varepsilon = 10^{-5}$ : 78542
$\varepsilon = 10^{-6}$ : 785400
$\varepsilon = 10^{-7}$ : 7853992
$\varepsilon = 10^{-8}$ : 78547462
$\varepsilon = 10^{-9}$ : 783462848

Donc, en gros, quand on divise $\varepsilon$ par 10, l'indice de première obstruction est multiplié par 10.

Par ailleurs, on aimerait retrouver $\pi$ par un processus style 'dichotomie', mais je ne vois pas trop comment procéder...

Observation rapide concernant cette question de retrouver $\pi$ par dichotomie grâce à Wallis : on dirait que si $W_0 >\frac \pi 2$, alors ce que tu appelles "l'indice de première obstruction à la décroissance" est toujours pair.

On parie (démontre ce serait mieux...) que si $W_0 <\frac \pi 2$, alors il est toujours impair ?

D'où un algorithme de dichotomie, avec $a$ et $b$ comme tu veux (enfin pas trop quand même) :
* on pose $c=(a+b)/2$
* on part de $W_0=c$ et on détermine N l'indice de première obstruction à la décroissance.
* si N est pair alors on est parti au dessus de $\pi/2$, on pose $b=c$
* si N est impair alors on est parti en dessous de $\pi/2$, on pose $a=c$
* on recommence.

C'est effectivement abusé, mais ça se fait. Je me rappelle bien d'un sujet (ESSEC ou HEC je ne sais plus) où Stirling sortait du TCL et autres considérations de convergences probabilistes. Que l'on soit bien d'accord : le TCL est totalement admis dans ce programme.


Et la réponse de JLapin sur le calcul de $W_2$ par considération géométrique parait convenable. En combinant avec la proposition de john_john, on peut donc poser $W_0 = \frac \pi 2$, comme seule valeur qui vérifie la relation de récurrence à partir de $n=0$. On arrive ainsi, je crois, à avoir tout le nécessaire pour calculer le $C$ de Stirling, sans écrire un seul sin/cos. Bravo et merci à tous.


Mais c'est tout de même bien compliqué !! Vraiment pas moyen de démontrer de façon plus directe la décroissance de la suite définie par $W_0 = \frac \pi2,\ W_1=1,\ \forall n \in \N,\ W_{n+2} = \frac{n+1}{n+2}W_n$ ?

gebrane a dit :

Si l'OP s'intéresse, on peut discuter les détails

À nouveau la fonction $\Gamma$ sort du programme de mes classes, mais aucun problème pour poursuivre la discussion et essayer de sauver ta preuve !