$f(z)=|z|²$ pas analytique

Sinon, supposons $z_0\ne0$. L'on sait que $\C=\R\oplus{}i\R$. L'on sait également que\[h\in\R\Leftrightarrow{}h=\overline{h}\text{ et }h\in{}i\R\Leftrightarrow{}h=-\overline{h}\]Partant, lorsque $h\in\R$, l'on a\[f(z_0+h)-f(z_0)=z_0\overline{h}+h\overline{z}_0=(z_0+\overline{z}_0)h\]De même, lorsque $h\in{}i\R$, l'on a\[f(z_0+h)-f(z_0)=z_0\overline{h}+h\overline{z}_0=(\overline{z}_0-z_0)h\]Finalement, comme $z_0\ne0$, il suit que $z_0+\overline{z}_0\ne{}\overline{z}_0-z_0$ et le résultat découle de là, sans avoir à utiliser les coordonnées usuelles. Bien entendu, il y a plus simple, lorsque l'on fait appel à des résultats de l'analyse complexe.

Cette fonction viole le théorème de l'application ouverte. Si on veut éviter (ou on n'a pas encore le droit d'utiliser) les arguments massues de ce type (encore que celui-ci est indispensable à connaître en raison de l'idée géométrique qu'il donne des fonctions analytiques qui sont très loin d'être n'importe quoi) on peut tenter de travailler avec le développement limité de la fonction en question au point ou elle est éventuellement dérivable au sens complexe.