Polynôme caractéristique

topopot
topopot
dans Algèbre
Bonjour,

Je suis sûr de passer à côté d'une évidence mais j'ai du mal à comprendre un passage dans la démonstration de la dimension des sous-espaces caractéristiques.

Je crois que la source du blocage se résume à ça :

Disons qu'on dispose d'un endomorphisme $u\in\mathcal L(E)$ avec $E$ un $\mathbb K$-e.v. de dimension finie et $\lambda\in\mathbb K$.

Supposons que $u-\lambda\mathrm{Id}_E$ est nilpotent. Pourquoi alors $\chi_u=(X-\lambda)^n$ ?

Je sais que comme $u-\lambda\mathrm{Id}_E$ est nilpotent, on a $\chi_{u-\lambda\mathrm{Id}_E}=X^n$, mais je ne vois pas comment conclure.

Réponses

  • raoul.S
    raoul.S
    Modifié (September 2024)
    Si $u-\lambda\mathrm{Id}_E$ est nilpotent, alors $\lambda$ est la seule valeur propre de $A$, donc son polynôme caractéristique est $\chi_u=(X-\lambda)^n$.
  • bisam
    bisam
    Considère la matrice $M$ de $u$ dans une base quelconque : elle est à coefficients dans $\mathbb{K}$ et son polynôme caractéristique est le même que celui de $u$.
    Si on considère que $M$ est en réalité à coefficients dans un sur-corps $\mathbb{L}$ de $\mathbb{K}$ qui soit algébriquement clos, alors puisque $M-\lambda I_n$ est nilpotente, la seule valeur propre de $M$ dans $\mathbb{L}$ est $\lambda$.
    Par conséquent, le polynôme caractéristique de $M$ est scindé sur $\mathbb{L}$ et ne peut avoir que $\lambda$ comme racine donc il vaut $(X-\lambda)^n$.
  • JLapin
    JLapin
    Modifié (September 2024)
    topopot a dit :

    Je sais que comme $u-\lambda\mathrm{Id}_E$ est nilpotent, on a $\chi_{u-\lambda\mathrm{Id}_E}=X^n$, mais je ne vois pas comment conclure.

    Dans une base adaptée de $E$, la matrice de $u-\lambda Id$ est triangulaire supérieure stricte, donc la matrice de $u$ est triangulaire avec des $\lambda$ sur la diagonale et on en déduit directement $\chi_u = (X-\lambda)^n$.
  • gebrane
    gebrane
    Pourquoi ne pa ecrire simplement  $$ \chi_u(X) = \det(X \mathrm{Id}_E - u).=\det((X - \lambda)\mathrm{Id}_E - (u - \lambda \mathrm{Id}_E).) =\chi_{u-\lambda\mathrm{Id}_E}(X-\lambda)=(X-\lambda)^n$$
      
    Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..


  • topopot
    topopot
    Merci à vous tous, c'est beaucoup plus clair désormais !
  • dSP
    dSP
    gebrane a dit :
    Pourquoi ne pa ecrire simplement  $$ \chi_u(X) = \det(X \mathrm{Id}_E - u).=\det((X - \lambda)\mathrm{Id}_E - (u - \lambda \mathrm{Id}_E).) =\chi_{u-\lambda\mathrm{Id}_E}(X-\lambda)=(X-\lambda)^n$$
      

    Parce que cela n'a aucun sens ? $X$ n'est pas un élément du corps de base.
  • gebrane
    gebrane
    Aie ca fait mal
    Supposons que \( K = \mathbb{R} \) ou \( \mathbb{C} \). La faute est-elle réparable en considérant la fonction polynômiale associée au polynôme caractéristique et en remplaçant \( X \) par \( x \) dans \( K \) ? 
    Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..


  • JLapin
    JLapin
    Tu peux aussi choisir une base quelconque de $E$ puis travailler avec des matrices à coefficients dans $K(X)$.
  • Math Coss
    Math Coss
    @dSP pinaille : il n'y a qu'à remplacer $u$ par sa matrice $A$ dans une base quelconque et invoquer le fait connu que les polynômes obtenus en début ou en fin de chaîne ne dépendent pas de la base (cela justifie la première et la dernière égalités). Autrement dit ($n$ est la dimension), \[\chi_u(X) = \det(X \mathrm{I}_n - A)=\det((X - \lambda)\mathrm{I}_n - (A - \lambda \mathrm{I}_n).) =\chi_{A-\lambda\mathrm{I}_n}(X-\lambda)=(X-\lambda)^n.\]
  • topopot
    topopot
    Une autre question : est-ce que la définition des sous-espaces caractéristiques de $u\in\mathcal L(E)$ nécessite que $u$ soit scindé ?
  • gebrane
    gebrane
    Etrange que @DSP ne dit aucun mots après l'intervention de MC
    Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..


  • dSP
    dSP
    C'est juste une erreur classique d'élève, et comme les extensions de scalaires par tensorisation ne sont pas abordables au niveau où l'exercice est posé, on n'a effectivement pas d'autre choix que de passer par une représentation matricielle.
  • NicoLeProf
    NicoLeProf
    topopot a dit :
    Une autre question : est-ce que la définition des sous-espaces caractéristiques de $u\in\mathcal L(E)$ nécessite que $u$ soit scindé ?
    Non mais c'est plus commode de les définir en supposant que le polynôme caractéristique de $u$ est scindé (pas $u$, je ne sais pas ce qu'est un endomorphisme scindé : attention à la terminologie !)
    Après tu peux t'en passer à condition de supposer que $u$ ait au moins une valeur propre et définir la notion de sous-espace caractéristique par rapport à cette valeur propre.
    Lorsque notre cher Gebrane, le 😄 farceur, intervient dans une question d'algèbre, c'est une véritable joie pour les lecteurs.


  • gebrane
    gebrane
    Merci DSP pour ta réponse 
    Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..


  • topopot
    topopot
    @NicoLeProf d'accord. 
    Un endomorphisme scindé est un endomorphisme dont le polynôme caractéristique est scindé, c'est une abréviation utilisée par certains cours.
  • Math Coss
    Math Coss
    Tant qu'on y est, une remarque de plus sur la définition du polynôme caractéristique. En général, on voit la définition du déterminant et sa propriété essentielle – le déterminant du produit est le produit des déterminants – pour des matrices à valeurs dans un corps. Or, a priori, $A-X\mathrm{I}_n$ est à coefficients dans $K[X]$ qui n'est pas un corps. On peut résoudre ce problème en considérant que les coefficients sont dans $K(X)$ mais alors un autre surgit : on n'a plus de garantie que $\det(A-X\mathrm{I}_n)$ soit un polynôme et il faut le vérifier.
    Bref, c'est (inutilement) pénible. Bien sûr il y a plusieurs contournements possibles mais il y a une finesse qui est souvent passée sous silence.
  • JLapin
    JLapin
    Math Coss a dit : mais il y a une finesse qui est souvent passée sous silence.

    En général, le fait que $t\mapsto \det(t I_n-A)$ est une fonction polynomiale et les propriétés associées figure dans tous les cours. Je ne sais pas trop ce qui te fait dire que c'est souvent passé sous silence.
  • Julia Paule
    Julia Paule
    Modifié (September 2024)
    Une autre à la question initiale : $u - \lambda Id_E$ est nilpotent, donc il existe un plus petit entier $k>0$ tel que $(u - \lambda Id_E)^k=0$, le polynôme $(X- \lambda)^k$ annule $u$ et c'est son polynôme minimal, et les valeurs propres d'un endomorphisme sont exactement les racines de son polynôme minimal. 
    Oups je n'ai pas fini. On plonge $K$ dans un corps algébriquement clos. Dans ce corps, le polynôme minimal de $u$ est aussi $(X- \lambda)^k$, et $\lambda$ est sa seule valeur propre, donc son polynôme caractéristique (de degré $n$) s'écrit $(X-\lambda)^n$ dans ce corps, mais aussi dans $K$ car $\lambda \in K$.
  • Julia Paule
    Julia Paule
    En effet, JLapin. On peut poser l'application $\chi_A : K \to K, x \mapsto \det(xI_n - A)$. C'est une fonction polynomiale attachée au polynôme $\det(XI_n - A)$ (mêmes règles de calcul), donc $\chi_A(X)=\det(XI_n - A)$.
  • Math Coss
    Math Coss
    Modifié (September 2024)
    @JLapin : Les fonctions polynomiales sur un corps finis, ça n'aide pas beaucoup pour le problème. Dans le message pointé par @dSP, $X$ est une indéterminée – comme dans le tien d'ailleurs. (Cela dit je suis au courant que la plupart des cours parlent de sous-corps de $\C$.)
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