$\C$ et ses sous-corps

Médiat_Suprême : je ne vois pas bien pourquoi les corps que tu indiques seraient réels clos avec $\C$ pour clôture algébrique.

En revanche, il est classique que le groupe de Galois de $\C$ sur $\Q$ soit infini indénombrable : pour cela, on prend une partie algébriquement indépendante maximale $\mathcal{X}$ et on considère le sous-corps $\Q(\mathcal{X})$, dont $\C$ est une clôture algébrique. Il faut ensuite observer que $\mathcal{X}$ est infini (sinon $\Q(\mathcal{X})$ serait dénombrable puis $\C$ aussi), et considérer le morphisme injectif naturel du groupe symétrique $S_{\mathcal{X}}$ dans $\Q(\mathcal{X})$ (action par permutation des indéterminées). Ensuite, par principe de prolongement chaque automorphisme de $\Q(\mathcal{X})$ est prolongeable en un automorphisme de $\C$.

A partir de là, il suffit d'observer que $\mathrm{Aut}(\C)=\mathrm{Gal}(\C/\Q)$ agit naturellement sur l'ensemble des sous-corps réels clos dont la clôture algébrique est $\C$, et que le stabilisateur de $\R$ est réduit à deux éléments (car le seul automorphisme de $\R$ est l'identité, et ses seuls prolongements à $\C$ sont l'identité et la conjugaison complexe). Il suffit alors, pour conclure, de prendre l'orbite de $\R$ sous l'action considérée (on peut par ailleurs démontrer, ce qui relève de la théorie des corps réels clos, que cette orbite contient exactement les sous-corps du type voulu).