Félicitations à de Seguins Pazzis HDR

Bonjour,

C'est presque de l'histoire ancienne, puisque j'ai soutenu mon HDR en juin 2023, et je ne suis pas sûr que ma petite personne mérite un fil.

Je pense que l'introduction du mémoire explique assez bien la thématique et la démarche, mais je peux en faire aussi un bref résumé ici : je suis un des derniers Mohicans de l'algèbre linéaire et quadratique "classique", que j'essaie de faire avancer à ma manière en m'attaquant à des énoncés à la fois simples par la formulation, mais difficiles à démontrer, et ne nécessitant pas en général un outillage très sophistiqué (point d'algèbre homologique en vue...).

J'ai principalement travaillé sur deux classes de problèmes.

(1) Des questions sur les structures linéaires ou affines dans les algèbres de matrices. Il s'agit d'examiner des variantes ou des approfondissements de problèmes classiques comme celui de Dieudonné (sous-espaces vectoriels de matrices carrées non inversibles) ou de Gerstenhaber (sous-espaces vectoriels de matrices nilpotentes). La spécificité de ces sujets est qu'au lieu de considérer la question des sous-algèbres, on allège la structure algébrique en se limitant à un sous-espace vectoriel, mais on fait porter une contrainte de nature sur les éléments de la sous-structure. J'ai non seulement obtenu des généralisations des théorèmes cités plus haut, avec des résultats parfois surprenants, mais j'ai aussi découvert des ponts inattendus entre plusieurs questions du même genre : par exemple, ma généralisation du théorème de Gerstenhaber aux sous-espaces vectoriels constitués de matrices sans valeur propre non nulle dans le corps de base (sorte de version faible de la nilpotence) a un lien étonnant avec un autre théorème de classification, portant lui sur les sous-espaces vectoriels de matrices de rang majoré, dû à Atkinson. Il y a aussi un très joli lien entre l'étude des sous-espaces vectoriels de matrices diagonalisables de grande dimension et celle des sous-espaces vectoriels de matrice sans valeur propre nulle, qui permet très facilement de démontrer le théorème principal sur les premiers à partir du théorème principal sur les derniers.

L'axe (1) a été mis un peu en sommeil depuis 5 ans, mais la préparation de l'habilitation m'a obligé à m'y replonger, et j'ai découvert de toutes nouvelles méthodes, que j'explore depuis. J'ai notamment de jolis résultats récents sur les sous-espaces vectoriels de matrices trigonalisables (sur le corps de base), sujet sur lequel rien de substantiel n'était connu à ce jour.

(2) J'ai parallèlement travaillé sur des questions de décompositions de matrices (ou d'endomorphismes d'espaces vectoriels de dimension infinie) à l'aide de matrices "simples". Les objets les plus simples d'un point de vue algébriques, une fois mis de côté les matrices scalaires, sont les matrices quadratiques, à savoir les matrices carrées annulées par un polynôme de degré 2 (matrices de projecteurs, de symétrie, de carré nul, etc). J'ai obtenu beaucoup de résultats substantiels sur la question, par exemple que tout endomorphisme d'un espace vectoriel (de dimension finie ou non !) peut se décomposer comme combinaison linéaire de trois projecteurs (et c'est optimal en général). Mon magnum opus est une série de trois articles dans lesquels j'ai complètement résolu le problème suivant : on se donne deux polynômes $P$ et $Q$ de degré $2$ sur un corps $\mathbb{K}$ quelconque, et on se demande quelles matrices $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ peuvent se décomposer comme $M=A+B$ (ou $M=AB$) pour un couple $(A,B)$ de matrices telles que $P(A)=Q(B)=0$. Bien sûr, il s'agit de caractériser ces matrices par les invariants qui codent leur classe de similitude (invariants de similitude ou nombres de Jordan généralisés). Je travaille désormais sur une adaptation de ces résultats dans le cadre d'espaces polaires, c'est-à-dire d'espaces vectoriels munis d'une forme bilinéaire symétrique ou alternée non dégénérée, où les termes de la décomposition doivent vérifier des contraintes de type "autoadjoint", "antiautoadjoint" ou "unitaire" (selon le type de décomposition envisagé). Par exemple, j'ai récemment retrouvé (résultat déjà connu mais jamais publié auparavant) une caractérisation des produits de deux éléments d'ordre $2$ dans un groupe symplectique, et en application j'ai obtenu des avancées très importantes sur le problème plus général de la décomposition d'un élément d'un groupe symplectique en produit d'éléments d'ordre $2$ avec le nombre le plus faible possible de facteurs.

Pour la petite histoire, l'article suivant http://www.ams.org/proc/2013-141-03/S0002-9939-2012-11396-6/S0002-9939-2012-11396-6.pdf a pour origine un fil de ce forum, dans lequel JLT a contribué (il est cité dans l'article). Ce dernier est Professeur des Universités.