Un tour de baguette

Idem. J’ai pris le cas du triangle, même équilatéral, et je ne sais pas de quelle taille est cette baguette. 

Pour un triangle rectangle, je pense que ça ne marche pas. L’hypoténuse est cette longueur maximale. Et la baguette sort. 

Je le prends ABC isocèle et rectangle en A. 

Ça me fait penser à un triangle dessiné sur un tableau noir. Et une craie blanche. On la pose contre le tableau comme pour colorier l’intérieur du triangle, sur la tranche. Et on s’ordonne de toujours faire glisser la craie en la mettant ses extrémités sur le périmètre. 

Moi ça me fait penser à des problématiques de vilebrequin. On a notre baguette avec un point "avant" A, et un point arrière "B". Quand A avance, il tire B, mais parfois ça bloque. Parfois, quand A avance, il faut que B recule, pour éviter un blocage ultérieur ...
Par contre, je vois mal pourquoi tu dis que dans le cas du triangle équilatéral, la baguette devrait avoir comme longueur la hauteur de ce triangle.
Ou plutôt si, ça y est, je vois.
Si on place M au milieu d'un des côtés, et si on trace un cercle de centre M et de rayon R, avec R supérieur à la hauteur du triangle, alors ce cercle ne coupe le triangle en aucun point. 
Donc avec une baguette de longueur R, c'est sûr, on ne pourra pas faire tourner la baguette tout autour du triangle.
Donc on choisit la longueur aussi grande que possible pour ne pas avoir cette réponse évidente, et on regarde si on peut faire tourner notre baguette, sans blocage.
Mais dans ce cas, pourquoi choisir la largeur dans le cas du rectangle, logiquement, on devrait choisir $\sqrt{l^2+\frac{L^2}{4}}$ (sauf erreur)

Ou alors, autre interprétation : 

On a un polygone (par exemple un triangle équilatéral, ou un rectangle ).
On a une baguette , et on veut pouvoir faire 'rouler' cette baguette autour du polygone, en gardant les 2 extrémités sur le bord du triangle, et faire un tour complet.
Quelle est la longueur max de la baguette qui permet cela ?
Réponse : on peut faire tourner la baguette sur tout le tour du triangle équilatéral tant que la longueur de cette baguette reste inférieure à la hauteur du triangle. ou tant que cette longueur ne dépasse pas la largeur dans le cas d'un rectangle.

Oui, pour le rectangle non carré la largeur suffit comme taille, puis on déplace le segment parallèlement à ce petit côté. Par contre on peut prendre plus long et c’est ce que l’on cherche si je ne m’embrouille pas 😬. Mais prendre la longueur, ça ne marche pas toujours (si par exemple la longueur est bien plus grande que la largeur). 

@Domi,
oui, mais j'essaie de reformuler l'exercice de façon claire.
Tu dis qu'on a un polygone et une baguette de taille maximale (terme pas vraiment défini). 
Et tu demandes : peut-on faire glisser la baguette de telle façon que ... 
Pour un polygone donné, la réponse sera donc Oui ou Non. Ce ne sera pas une longueur ou je ne sais quoi, mais un booléen.
Mais comme la notion de taille maximale n'est pas clairement définie, je proposais une reformulation :

Oui mais une fois arrivé en [ID]. Je déplace plutôt l’extrémité supérieur de D vers C, puis ma baguette glisse le long du côté [BC] vers la gauche, jusqu’à B. Puis je remonte par la gauche. 

On cherche la longueur maximale pour que ce soit le cas, n’est-ce pas cela le problème posé ? 

Alors j’ai encore mal compris. J’avais en tête « si les deux extrémités écrivent du rouge alors on peut tracer tout le périmètre en rouge ». Désolé je n’ai pas relu le cahier des charges. 

Oui, j’avais encore réinterprété à tort l’énoncé. 

Je vais me coucher alors car je pense que ma tête est embrouillée. 

Pour un rectangle : prenons déjà une baguette un peu plus courte que la largeur du rectangle, une extrémité tourne autour du rectangle, et elle tire l'autre extrémité. Les 2 extrémités tournent, dans le même sens. Simple.
Et si la baguette a comme taille la largeur du rectangle, ça marche encore. 

@plsryef : je choisis le premier de tes trois dessins.

Je pense qu'il y a quiproquo.
La question a évolué. 
A priori , Domi cherche à répondre à cette question : 
On a un polygone et une baguette AB (A est rouge, et B est bleue) ; l'extrémité B arrive à parcourir tout le polygone, pendant que A reste sur la frontière du polygone, mais le polygone est un peu tordu, et il n'y a pas moyen de faire en sorte que B fasse un tour, et A fasse également un tour 'en même temps'. 

A mon avis, pour des raisons que j'appellerais de topologie, un tel polygone ne peut pas exister 

@Marco, dans la série de dessins, l'extrémité B de la baguette est toujours à gauche par rapport à l'extrémité A. 
L'extrémité B n'est jamais dans la partie la plus à droite du polygone , elle ne fait pas le tour du polygone.
On est dans une configuration très similaire à la configuration du rectangle, avec une baguette plus longue que la largeur du rectangle.
La baguette ne peut jamais être orientée à la verticale, et donc c'est mort.

Comme Dom, je ne vois pas ce qui marche. On a trouvé une figure complexe qui a les même propriétés que le rectangle.  
Pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué.

Mais pas comme Dom : on ne peut pas dessiner le polygone avec une seule des extrémités : Si on choisit l'extrémité qui est sur la droite, elle ne pourra pas atteindre le point le plus à gauche. Et inversement.

Cependant, le rectangle de @lourrran ,avec une baguette un peu plus longue que la largeur, convenait aussi, il me semble (je n'avais pas bien lu tout le fil de la discussion).

Bonsoir
j'ai (je crois) une courbe fermée $C$ et une baguette $AB$ telles que lorsque $B$ a parcouru $C$, $A$ ne l'a pas fait.
Mais je ne suis pas sûr que la question à laquelle je pense répondre ait jamais été posée dans ce fil!
Aussi, pour ne pas embrouiller un peu plus ce fil, j'attends qu'on me dise si je suis dans le sujet!
Bien à tous
Paul