La démonstration est que 1 est égal à une forme indéterminée.

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Réponses

  • Comme me l'a appris ma maîtresse de CE2, tata Suzanne, dite Susu, $\{l,é,o\} \cap \{t,o,t,o\}=\{o\}$
  • Perso, 0^0 est considéré comme le produit nul, et 0! est un produit nul dont on connaît la valeur, qui est 1.

    Un truc qui m'a davantage interpellé : pour écrire une formule en Python, j'ai dû indiquer au programme que 1/0=0, ce qui me permettait d'ajuster mon calcul pour qu'il soit correct.

    1/0=0 est assez contre-intuitif, car $$\lim\limits_{0^+}\frac{1}{0^+}=+\infty$$.

  • Fly77 a dit :

    Perso, 0^0 est considéré comme le produit nul, et 0! est un produit nul dont on connaît la valeur, qui est 1.

    Un produit nul, ça fait $0$ comme son nom l'indique comme dans la fameuse règle du produit nul. Sinon on ne dirait pas "nul" si ça faisait $1$. J'imagine une confusion avec le "produit vide".


    Comme me l'a appris ma maîtresse de CE2, tata Suzanne, dite Susu, $\{l,é,o\} \cap \{t,o,t,o\}=\{o\}$
  • Je pense qu’il voulait dire « produit vide ». 
    Mais je ne crois pas qu’il faille relancer se marronnier. 
  • J Lapin et Dom, ne vous inquiétez pas, Médiat le rancunier ne vous visait pas, mais voulait parler de moi (sans le dire, comme d'habitude, il n'imagine pas qu'on ne puisse pas le comprendre). Il m'en veut depuis bien longtemps, bien avant de venir ici. Vous remarquerez qu'il ne fait aucun effort pour répondre à Octobre, qu'il vient rarement répondre, même dans sa spécialité, préférant critiquer les réponses des autres.
    Un inconvénient : ses critiques renforcent souvent chez les shtammeurs l'impression qu'ils pensent correctement mais sont mal compris, puisqu'il y a une voix discordante.

    Cordialement.
  • Cyrano
    Modifié (August 2024)
    $0^0$ est bien théoriquement une forme indéterminée, au sens des limites, puisque $$f(x)^{g(x)} = \exp(g(x)\ln(f(x)))$$ Ainsi si $f$ et $g$ tendent vers $0$, on voit qu'on a affaire à une indétermination $0\times\infty$ à l'intérieur de l'exponentielle.

    Le fait que $\lim_{x\to 0^+} x^x = 1$ est juste un cas particulier où l'indétermination se lève aisément.
  • Médiat_Suprème
    Modifié (August 2024)
    gerard0 a dit :
    mais voulait parler de moi
    Je ne sais pas ce qui m'impressionne le plus : la lucidité ou l'égocentrisme.

    Je suis évidemment au service d'@octobre, s'il me pose des questions sur les lignes que j'ai ouvertes.
    Il ne faut pas respirer la compote, ça fait tousser.

    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
  • Je ne veux pas relancer une quelconque polémique mais du coup, que faire en collège? Jusqu'à présent, je disais à mes 4èmes que $0^0$ n'est pas défini car comment choisir entre $0$ et $1$? Je peux peut-être ajouter à partir de la rentrée à venir que l'on attribue $1$ par convention à $0^0$ notamment en algèbre pour pouvoir faire des preuves plus avancées. Et même, on peut, avec les axiomes et définitions qui nous le permettent, démontrer que $0^0=1$ (Bourbaki l'aurait prouvé?).
    Lorsque notre cher Gebrane, le 😄 farceur, intervient dans une question d'algèbre, c'est une véritable joie pour les lecteurs.


  • Les puissances de nombres naturels sont définies de façon combinatoire en posant $$n^m = \text{nombre d'applications de l'ensemble m dans l'ensemble n}.$$ Bien sûr, on présuppose travailler en théorie des ensembles donc les nombres naturels sont des ensembles et bien entendu $0 = \emptyset.$ Comme il n'y a qu'une application du vide dans lui-même (à savoir l'application vide), on en déduit que $0^0=1.$ Autrement dit cette égalité résulte directement des définitions choisies et n'est donc pas un axiome. Ce n'est pas non plus une convention (au sens strict) mais plutôt la conséquence logique d'autres conventions (la définition de la puissance naturelle et la définition ensembliste des nombres).

    Ce discours n'est pas tenable au collège car l'égalité définitionnelle $0=\emptyset$ risque de faire un peu mal. (Et je ne parle même pas de $1 = \{0\}.$) De plus, comme on en a longuement discuté sur un autre fil, les collégiens ne reçoivent pas la "vraie" définition de ce qu'est une application. Cela va donc être très dur de leur parler d'une application $\emptyset \to \emptyset.$ 
  • @NicoLeProf , moi je leur dirais que pour n'importe quel nombre $x$, $x^0=1$. Ça me semble simple à retenir, mais c'est toi le mieux placé pour décider, je n'ai pas de 4ème.

    Ceci dit, ce n'est pas la question d'octobre. :)
    Comme me l'a appris ma maîtresse de CE2, tata Suzanne, dite Susu, $\{l,é,o\} \cap \{t,o,t,o\}=\{o\}$
  • Médiat_Suprème
    Modifié (August 2024)
    La notation $x^y$ représente 3 (au moins) objets différents, chacun défini dans son coin et avec des domaines distincts, ces 3 objets (déjà évoqués ici), sur l'intersection de leurs domaines (avant généralisation), valent la même chose, $(0, 0)$ n'est pas dans cette intersection.
    Il ne faut pas respirer la compote, ça fait tousser.

    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
  • médiat : "Je suis évidemment au service d'@octobre, s'il me pose des questions sur les lignes que j'ai ouvertes."

    ... et il parle d'égocentrisme !


  • Et oui, je les ai ouvertes dans mon message, cela ne veut pas dire qu'elles n'étaient pas ouvertes avant, un peu de logique quand même, cela ne peut pas faire de mal
    Il ne faut pas respirer la compote, ça fait tousser.

    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
  • Dom
    Dom
    Modifié (August 2024)
    NicoLeProf, au collège,
    on pose $0^0=1$ et cela permet de rendre encore vrais les théorèmes déjà connus.
    remarque : on a aussi posé, quel que soit $a$, $a^1=a$. En effet, suivant l’approche, ce n’est pas une évidence (produit avec un seul facteur) même si les élèves trouvent ça « logique ». 
    autre justification : quand on programme les puissances entières d’un nombre (scratch par exemple) on trouve très commode d’initialiser à $1$.  
    D’ailleurs, avec l’addition, on peut se demander comment programmer la multiplication par un entier (par addition itéree) et on trouve commode d’initialiser la somme à $0$. 
  • Une modeste contribution : Pour en finir avec 0^0 (futura-sciences.com) 
    Il ne faut pas respirer la compote, ça fait tousser.

    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
  • Merci beaucoup pour vos réponses à mon questionnement ! :)
    Lorsque notre cher Gebrane, le 😄 farceur, intervient dans une question d'algèbre, c'est une véritable joie pour les lecteurs.


  • octobre
    Modifié (August 2024)
    J'ai lu que certains mathématiciens affirme que le fait que 0^0 n'est pas égal à 1 en analyse, et que le concept de limite n'est pas parfait, et qu'il y a quelques chose qui cloche a ce niveau là...
  • La phrase « 0^0 n’est pas égal à 1 en analyse » ne veut rien dire.
    Quant aux limites, rien ne cloche. As-tu lu mon message avec ma question pour toi ?
  • octobre
    Modifié (August 2024)
    Dom a dit :
    J’ai pris des fonctions particulières : j’ai le droit puisque cela suffit à sortir des exemples où la limite n’existe pas. 

    Ha. Intéressant, octobre. 
    Quelle situation donne « $1$ » comme forme indéterminée ? As-tu des exemples où je puisse reconnaître cela ? 
    Ah les exemples sont les limites qui ne converge pas vers 1 mais peuvent avoir différentes valeur que 1 voir diverger ou même pas exister.
    Ici je dis que ses limites qui disent que 0^0 peut être différent de 1 ça sera une belle preuve pour pouvoir redéfinir 1 , 1 dans ce cas serait égal a 1 ou autre valeurs ou diverger ou voir ne pas exister, ça donne encore une autre propriété magique  au nombre 1 qui représente l'unité, on peux même dans ce cas exclure l'infini est le remplacer par 1...
  • Déjà, écrire $0^0$ en pensant à des limites ou à une "forme indéterminée" est un gros abus d'écriture* (comme $0 \times \infty$ ), de plus si vous avez lu le lien que j'ai donné plus haut, vous avez vu que "en analyse", écrire $0^0 = 1$ est le résultat d'une définition qui a été choisie pour rendre certaines fonctions (de la forme $f(x)^{g(x)}$ continues en $0$ (mais du coup, certaines ne le sont pas)).

    * Si je vous demandais de démontrer que pour $a$ et $b$ des réels, on a $a\times b = a\times b$ vous ne comprendriez sans doute pas la question qui en fait est : 
    Si $\displaystyle \lim_{x\to x_0} f(x) = a$ et $\displaystyle\lim_{x\to x_0} g(x) = b$ alors $\displaystyle\lim_{x\to x_0} f(x)\times g(x) = a\times b$

    où $x_0 \in \overline {\mathbb R}$ la droite achevée.

    Dans certains cas, on n'a pas de théorème (comme le précédent), et il faut mettre les mains dans le cambouis.
    Il ne faut pas respirer la compote, ça fait tousser.

    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
  • octobre
    Modifié (August 2024)
    Oui il ne faut pas dire que 0^0 n'est pas égal a 1 ,mais qu'elle une forme indéterminée que grâce au calcule de limite on peux trouver différentes valeurs.

    Ce n'est pas moi qui dit que le concept de limite en mathématiques n'est pas parfait plusieurs mathématiciens affirme ça...

  • Parfait pour quoi ? Il faut citer une source car « j’ai lu que » c’est un peu vague. Imagine que sur un réseau social je me mette à dire « j’ai lu que "on peux même dans ce cas exclure l'infini est le remplacer par 1" ». 
    Je pense qu’on a fait le tour de la question. 
    Raisonner en terme de limite, ce n’est pas pertinent. Et c’est surtout la confusion entre un nombre et une notation qui s’apparente à des limites (les fameuses formes indéterminées) qui est la cause des problèmes de compréhension. 

  • octobre
    Modifié (August 2024)
    Oui j'ai bien compris un peu en algèbre et théorie de nombre on peux démontrer que 0^0=1 ,mais en analyse  certains fonction comme x^x leur limite donne 1 mais certain non, si on vois les historiques sur ce sujets dans l'histoire du mathématiques tout le monde penser que 0^0=1, jusqu'a lorsque on a trouver que certaines limites ne converger pas vers 1, et dans ce cas pour ne pas avoir un mal a la tête on disait ah on sait rien posant 0^0=1 par convention.

    Ici moi je dis non 0^0=1 est vrai pas juste une convention,  il faut juste redéfinir le nombre 1 pour qu'il tient compte de ses limites qui  pose problème, et dans ce cas le 1 aura encore des propriété magique ,que peut après on peux même remplacer l'infini par 1...

    En clair ici je dis que pourquoi poser 0^0=1 par convention puisque il existe déjà des démonstrations solide pour que ça soit vrai pas juste une convention,si il y a des limites qui dérange ses démonstrations pourquoi ne pas tout simplement redéfinir le nombre 1 pour tenir compte...

  • Médiat_Suprème
    Modifié (August 2024)
    Non, 1 est parfaitement défini, ce sont certains types de limites pour lesquelles il n'existe pas de théorème général et simple.
    Il ne faut pas respirer la compote, ça fait tousser.

    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
  • octobre
    Modifié (August 2024)
    Bah pourquoi ne pas ajoutée autres propriétés au définition de nombre 1 pour tenir compte de ses certaines limites,après tout les mathématiques sont issus de l'imagination pour résoudre certains problèmes...
    Et on a des démonstrations très solides que 0^0=1 pour redéfinir 1 pour tenir compte de ses anomalies..
  • Sans doute parce que cela poserait plus de problèmes que cela n'en résoudrait.
    Peut-être ne comprends-je pas le fond de votre idée, vous devriez la développer un peu.
    Il ne faut pas respirer la compote, ça fait tousser.

    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
  • octobre
    Modifié (August 2024)
    @Dom je l'ai beaucoup d'articles si je retrouve la Source je te l'envoi, j'ai dis que certains mathématiciens affirme que le concept de limites n'est pas parfait.

    Mais qu'on j'ai dis qu'on peux exclure l'infini et le remplacer par 1 se sont mes dires puisque si on redéfini le nombre 1 pour tenir compte de certains limites qui sont pas égal à 1 ,parfois ses limites tend vers l'infini, donc dans ce cas le 1 aurait aussi les mêmes propriétés que l'infini...
  • @Mediat_supreme

    Ça peut aussi ouvrir la porte a une nouvelle mathématiques ou tout est à refaire.
    Ou le 1 serait un nombre ou autres valeurs ou joue le rôle de l'infini ou voir même pas exister...
  • Que penser de :
    $+\infty / +\infty$ c’est $1$ car c’est la limite de $x/x$ quand $x$ tend vers $+\infty$. 
  • Je ne sais pas mais ici on peux dire que 1 joue le rôle d'un nombre.
    En clair 1 aurait plusieurs propriétés a la fois...
  • Ouvrez là cette porte, ou au moins, entrebâillez-la, nous ferons tous (ou presque) l'effort de comprendre
    Il ne faut pas respirer la compote, ça fait tousser.

    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
  • bd2017
    Modifié (August 2024)
    C'est une usine à gaz ce fil? @Octobre tu veux redéfinir $1$?   et puis $2$?  ....

    Edit: ha! oui!  on est dans Shtam.
     
  • octobre
    Modifié (August 2024)
    Pourquoi pas puisque il existe des raisons solides a le faire, comme j'ai dis si on redéfini 1 avec l'ajout de nouvelles propriétés toutes les mathématiques doit se refaire, et dans cette nouvelle mathématiques 0^0=1 ne serait pas une convention... :)
  • En fait c’est le contraire. 
    0]
    On a $1$ (neutre de la multiplication dans le corps des réels). 
    1] 
    On introduit les puissances et se pose la question de $0^0$. 
    Le lien de Médiat_Suprème répond à la question (j’avais une réserve mais de l’ordre de la concision car le fil est long)
    On arrive au consensus : « c’est bon, $0^0=1$ ». 
    2] 
    Le drame est là car si j’ai bien compris, le truc intelligible est le truc suivant : 
    « j’ai vu qu’il existe des formes indéterminées [mais je ne sais pas ce que c’est] et que ça concerne les limites [mais je ne sais pas ce que c’est] et il y a la forme $0^0$ MÉZALORS ça remet en cause $0^0$ le nombre du « 1] » qui est le nombre $1$ normal. Donc il faut redéfinir $1$ ». 

    Voilà. La fin est absurde. Le 1] ne pose pas de problème par l’auteur (octobre). Quant au 2], on a répondu explicitement dans ce fil. 



  • gebrane
    Modifié (August 2024)
    Octobre a trouvé une contradiction dans ZF . Il faut refaire toutes les mathématiques, on commence par quoi à ton avis?
    Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..


  • Je ne sais pas mais je pense que il faut commencer par redéfinir la notion des nombres et aussi les opérations, car ajouter d'autres propriétés  aux nombres 1 va impacter aussi la défintion d'autres nombres.
  • Si tu as  une idée pour redéfinir le zéro, je suis preneur.
    Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..


  • En physique le 0 et l'infini n'existe pas si il y a une mathématique avancé qui refèlete vraiment la réalité noramlement ça ne devrait pas exister...
  • octobre, tu sembles faire exprès de ne rien comprendre. 
    Quelqu’un, très tôt a parler de troll… il avait sûrement raison. 
    Je suis très naïf.  
  • C'est juste mon avis sur le 0 et l'infini , après tout le 0 est un nombre juste par axiome, il ne justifie pas la défintion d'éculide d'un nombre ou dans cette définition tout nombre doit forcement posséder une quantité et unité de mesure et ce n'est pas le cas de zéro...
  • Voir les discussions initiées par Octobre. 7 de fermées sur 16, et les autres ne valent pas mieux.


  • Pas de problème, on retire le 0 et l'infini. Il reste à redéfinir le fameux 1. Je ne sais pas vraiment comment faire, car nous avions défini le 1 comme le successeur de 0. Faut-il abolir aussi l'addition pour ne pas rencontrer le problème 1-1 et ne garder que la multiplication des nombres ? Par exemple, 2 + 2 + 2 n'est que la multiplication \(2 \times 3\).


    Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..


  • Effectivement. 
    Et la dernière réponse fait bien penser à un gars qui tourne quelques pages web et sans les comprendre va re balancer des phrases. Là c’est flagrant, on dévie avec le « 0 » maintenant et on évoque Euclide. 
    C’est ridicule. 
  • octobre
    Modifié (August 2024)
    Je pense que si on veux redefinir une nouvelle mathématique il faut revenir aux bases, la définition d'Euclide est la base du mathématique.
  • gebrane
    Modifié (August 2024)
    Bonne idée, parle moi de la définition  d'Euclide ?
    Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..


  • La définition d'Ecluide dit tout simplement que tout nombre doit possèder une unité de mesure et une quantité.
    Mais à vrai dire ne dit pas que si un nombre possède autres properités que ça ,va pas respecter cette défintion, donc même si j'ajoute autres properités au nombre 1 dans cas ça respecte aussi cette défintion...
  • Comment on définit la notion de mesures et quantités pour les nombres ? 
    Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..


  • Médiat_Suprème
    Modifié (August 2024)
    Et l'unité de mesure des nombres est le 1, allez-y, quelles propriétés voulez-vous ajouter à cette unité ?

    @gebrane : ce sont des notions mises en avant par les Grecs, de Thalès à Euclide ; il faut attendre Simon Stevin (1548 à 1620) pour que la distinction nombre / grandeur s'estompe et que 1 soit considérer comme un nombre, d'ailleurs la démonstration de Stevin qui prouve que 1 est un nombre, peut-être utilisée pour montrer que 0 n'est pas un nombre
    Il ne faut pas respirer la compote, ça fait tousser.

    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
  • Mdiat_Suprme
    Médiat_Suprème
    Tu as fait fuir mon patient, je pratiquais une thérapie
    Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..


  • Pour Euclide, le nombre 1 est le générateur des entiers naturels, c'est-à-dire le point de départ à partir duquel on peut construire tous les autres nombres par addition répétée.



     
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