Convergence série oral Mines Ponts MP 2 024
Réponses
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Seule la question 1 demande un peu de réflexion mais du coup, tu risques de bloquer assez vite.
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Je tente l'indication suivante :Appliquer le théorème de la double limite pour montrer que $$v_n = \sum_{k=1}^{+\infty} \delta_{k\leq n}\dfrac{k}{n} u_k $$converge vers $0$ quand $n$ tend vers $+\infty$.$\delta_{k\leq n}$ vaut $1$ si $k\leq n$, $0$ sinon.
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Pas vraiment besoin de la double limite.$S_n=\sum_{k=1}^n u_k $ converge vers $S>0$ par hypothèse. Via Cesaro :$$\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n S_k \longrightarrow S$$Mais un calcul montre qu'en fait :$$\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n S_k = S_n - \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n (k-1) u_k$$Ce qui conclut.
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On peut faire sans le théorème de la double limite et avec un calcul ou sans aucun calcul et avec le théorème de la double limitePour ma part, j'aime bien les solutions sans calcul et en plus, ça me permet de donner une indication et de rendre la question un peu progressive.
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Pour moi Cesaro est naturel parce que l'idée naturelle est d'appliquer la sommation des relations de comparaison avec la série $\sum k u_k$. En effet, c'est l'outil de base pour regarder comment se comporte asymptotiquement une somme partielle.Comme $\sum u_k$ converge, $(u_k)$ tend vers $0$ et donc $k u_k = o(k)$. $(k)$ étant de signe constant et étant le terme général d'une série divergente, par sommation des relations de négligeabilité, on a $\sum_{k=1}^n k u_k = o (n^2)$. D'où :$$\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n k u_k = o(n) $$Mince, ce n'est pas assez précis, mais c'est une idée de type Cesaro.
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Bizarre l'indication.
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Tony Schwarzer a dit :Pas vraiment besoin de la double limite.$S_n=\sum_{k=1}^n u_k $ converge vers $S>0$ par hypothèse. Via Cesaro :$$\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n S_k \longrightarrow S$$Mais un calcul montre qu'en fait :$$\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n S_k = S_n - \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n (k-1) u_k$$Ce qui conclut.
Pas compris d'où sort la somme des $S_k$. -
Ma méthode a l'avantage de donner du sens à l'indication. Cesaro ce n'est rien d'autre que de l'epsilonnage.
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Cette expression est essentiellement obtenue par "formule de sommation sur un triangle". En effet :$$\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n S_k = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \sum_{l=1}^k u_l = \frac{1}{n} \sum_{l=1}^n \sum_{k=l}^n u_l$$Je te laisse finir.
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Tony Schwarzer a dit :Cette expression est essentiellement obtenue par "formule de sommation sur un triangle". En effet :$$\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n S_k = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \sum_{l=1}^k u_l = \frac{1}{n} \sum_{l=1}^n \sum_{k=l}^n u_l$$Je te laisse finir.
On cherche la limite de $u_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \dfrac{k}{n} u_k$.
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Du coup, tu veux une correction complète ultra détaillée ? Ou abandonner l'exo ?
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Le 1) est une application de la convergence dominée pour les séries (un truc pas très dur à montrer, et utile à savoir).
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OShine a dit :Tony Schwarzer a dit :Cette expression est essentiellement obtenue par "formule de sommation sur un triangle". En effet :$$\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n S_k = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \sum_{l=1}^k u_l = \frac{1}{n} \sum_{l=1}^n \sum_{k=l}^n u_l$$Je te laisse finir.
On cherche la limite de $u_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \dfrac{k}{n} u_k$.Il y a bel et bien un rapport.On cherche la limite de $(v_n=\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n k u_k)$Par le calcul précédent :$$\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n S_k = S_n - \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n (k-1) u_k$$Certes, le terme de droite n'est pas vraiment $v_n$, mais enfin... on s'en rapproche :$$\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n (k-1) u_k = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n k u_k - \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n u_k = v_n - \frac{S_n}{n}$$Bilan :$$S_n - v_n + \frac{S_n}{n} \longrightarrow S$$Il vient alors facilement que $(v_n)$ tend vers $0$.
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aléa a dit :Le 1) est une application de la convergence dominée pour les séries (un truc pas très dur à montrer, et utile à savoir).Pourquoi appeler "convergence dominée" le théorème de la double limite ?Je sais bien que l'on peut déduire l'un de l'autre mais le premier est tellement plus compliqué à démontrer dans sa généralité que le second...
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Tony Schwarzer a dit :Il vient alors facilement que $(u_n)$ tend vers $0$.
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Alexique a dit :Tony Schwarzer a dit :Il vient alors facilement que $(u_n)$ tend vers $0$.Ben non. Faute de frappe, cf modifications.OShine a eu la mauvaise idée d'appeler $(u_n)$ la suite dont on doit montrer qu'elle tend vers $0$ alors que $(u_n)$ a déjà été invoquée avant. J'ai repris cette mauvaise notation.
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@Tony Schwarzer
On cherche la limite de $v_n /n$ pas de $v_n$. -
On cherche la limite de $(v_n)$.On cherche à montrer que celle-ci est nulle, ce que j'ai fait.
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Je tente l'indication de JLapin mais l'absence de suite de fonctions ici (ou de série de fonctions) me perturbe donc d'avance désolé si je suis à côté de la plaque (je ne suis pas du tout un expert en analyse) :je pose pour tous $n, k \in \mathbb{N}^*$, $f_k(n)=\delta_{k\leq n}\dfrac{k}{n} u_k$.Pour tout $k \in \mathbb{N}^*$, $\lim\limits_{n \to +\infty} f_k(n)=0$.De plus, la série $\sum f_k$ converge uniformément vers $v_n=\sum\limits_{k=1}^{+\infty} \delta_{k\leq n}\dfrac{k}{n} u_k$ car le reste : $\sum\limits_{k=n+1}^{+\infty} f_k$ est nul.Donc d'après le théorème de la double limite, on a : $\lim\limits_{n \to +\infty} \sum\limits_{k=1}^{+\infty} f_k(n)=\sum\limits_{k=1}^{+\infty} \lim\limits_{n \to +\infty} f_k(n)=0$.
Autrement dit, on obtient : $\lim\limits_{n \to +\infty} v_n=0$.
Par suite, $\lim\limits_{n \to +\infty} v_n=\lim\limits_{n \to +\infty} \sum\limits_{k=1}^{n} \dfrac{k}{n} u_k$.Donc finalement, $\lim\limits_{n \to +\infty} \sum\limits_{k=1}^{n} \dfrac{k}{n} u_k=0$.Edit : pas sûr du tout du tout du tout du tout...Lorsque notre cher Gebrane, le 😄 farceur, intervient dans une question d'algèbre, c'est une véritable joie pour les lecteurs. -
Oups... j'ai raté toute la discussion...Je n'ai pas rafraîchi la page !Pour la peine, je vais donner une méthode pas encore donnée (même si c'est la même que @Tony Schwarzer en fait).
On pose $R_n=\sum_{k=n+1}^{+\infty}u_k$ pour tout $n\in\N$ et on remarque que pour tout $n\in\N^*$, $u_n=R_{n-1}-R_n$ donc, par transformation d'Abel : \[v_n=\frac1n\sum_{k=1}^nku_k=\frac1n\sum_{k=1}^nk(R_{k-1}-R_k)=\frac1n\left(\sum_{k=1}^n((k-1)R_{k-1}-kR_k) + \sum_{k=1}^nR_{k-1}\right)=-R_n+\frac1n\sum_{k=1}^nR_{k-1}\] et on conclut avec Cesàro. -
Voici ma réponse à Q1 sans utiliser Cesàro qui est hors-programme il me semble.
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Le théorème de Cesàro est parfaitement au programme de la filière MP et il est cité en exemple d'application de la règle de sommation des relations de comparaison.
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Le quantificateur $\forall n\geq N$ n'a rien à faire à la 2ème ligne (en fait, cette ligne ne sert à rien).
Il manque un $k$ dans la première somme de ta troisième ligne... et le reste de cette ligne est faux. Tu as confondu la somme de $ku_k$ et la somme des $u_k$. Par conséquent, toute ta démonstration tombe à l'eau.
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@JLapin
Je ne maîtrise pas le théorème de la double limite.
C'est un chapitre de spé que je n'ai pas revu.
J'ai relu quelques passages de cours mais ça me prendrait 3 heures pour réussir avec cette méthode car je ne connais pas le cours. Je ne comprends pas comment faire avec cette méthode.
Je pensais que cet exercice n'utilisait pas les séries de fonctions. -
Sinon, on pouvait aussi faire comme ça pour se passer des théorèmes poussiéreux de spé/L3 :$$\forall j \in \mathbb{N}^*, \quad 0 \leq \sum_{k = 1}^n \frac{k}{n} u_k = \sum_{k = 1}^{\lfloor \frac{n}{j} \rfloor} \frac{k}{n} u_k + \sum_{k=\lfloor \frac{n}{j} \rfloor}^n \frac{k}{n} u_k,$$ donc $$\forall j \in \mathbb{N}^*, \quad 0 \leq \liminf \sum_{k = 1}^n \frac{k}{n} u_k \leq \limsup \sum_{k = 1}^n \frac{k}{n} u_k \leq \limsup \left(\frac{1}{j} \sum_{k = 1}^{\lfloor \frac{n}{j} \rfloor} u_k + \sum_{k=\lfloor \frac{n}{j} \rfloor}^n u_k\right) = \frac{1}{j} \sum_{k = 1}^{+\infty} u_k.$$ En passant à la limite quand $j \to +\infty$, on obtient le résultat (bon du coup, c'est un peu la même chose que JLapin mais avec les calculs bourrins).
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Vérifie la convergence normale de cette série de fonctions. Et comme c'est une série de fonctions, tu n'as pas besoin de préciser que c'est vers la somme totale...
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Bibix a dit :
Je ne vois pas le rapport avec les valeurs d'adhérence. -
bisam a dit :Oups... j'ai raté toute la discussion...Je n'ai pas rafraîchi la page !Pour la peine, je vais donner une méthode pas encore donnée (même si c'est la même que @Tony Schwarzer en fait).
On pose $R_n=\sum_{k=n+1}^{+\infty}u_k$ pour tout $n\in\N$ et on remarque que pour tout $n\in\N^*$, $u_n=R_{n-1}-R_n$ donc, par transformation d'Abel : \[v_n=\frac1n\sum_{k=1}^nku_k=\frac1n\sum_{k=1}^nk(R_{k-1}-R_k)=\frac1n\left(\sum_{k=1}^n((k-1)R_{k-1}-kR_k) + \sum_{k=1}^nR_{k-1}\right)=-R_n+\frac1n\sum_{k=1}^nR_{k-1}\] et on conclut avec Cesàro.
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Il y a trop de méthodes qui ont été données du coup je suis perdu je ne comprends plus rien.
J'y arrive mieux quand je me concentre sur une seule méthode pour une question.
Mon cerveau n'arrive pas à gérer cette quantité d'informations et je n'arrive plus à rien faire. -
Change d'exo : celui-ci est inadapté car apparemment trop technique pour toi si tu n'utilises que des outils de première année et comme tu n'as pas revu de cours sur les séries de fonctions, tu ne peux pas utiliser les méthodes les plus efficaces.
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JLapin a dit :
Vérifie la convergence normale de cette série de fonctions. Et comme c'est une série de fonctions, tu n'as pas besoin de préciser que c'est vers la somme totale...@JLapin, j'améliore ma preuve : pour tous $N \in \mathbb{N}^*$ et $k \leq N$, $|f_k(N)| \leq \left |\dfrac{k}{N} u_k \right| \leq u_k$.Pour tous $N \in \mathbb{N}^*$ et $k \geq N$, $f_k(N)=0 \leq u_k$.Or, la série $\sum u_k$ converge donc la série : $\sum f_k$ converge normalement donc uniformément.Et la suite est bonne j'imagine?Si oui, je ne m'en sors pas si mal sachant que je ne pratique plus ce genre de chose (je suis rouillé quoi !)Lorsque notre cher Gebrane, le 😄 farceur, intervient dans une question d'algèbre, c'est une véritable joie pour les lecteurs. -
OShine a dit :Je ne comprends toujours rien.
Je ne vois pas le rapport avec les valeurs d'adhérence.Attends, je la refais en entier pour que ce soit compréhensible.Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, on a $$\forall j \in \mathbb{N}^*, \quad 0 \leq w_n = \sum_{k = 1}^n \frac{k}{n} u_k = \sum_{k = 1}^{\lfloor \frac{n}{j} \rfloor} \frac{k}{n} u_k + \sum_{k=\lfloor \frac{n}{j} \rfloor}^n \frac{k}{n} u_k,$$ donc $$\forall j \in \mathbb{N}^*, \quad 0 \leq w_n \leq \frac{1}{j} \sum_{k = 1}^{\lfloor \frac{n}{j} \rfloor} u_k + \sum_{k=\lfloor \frac{n}{j} \rfloor}^n u_k = \frac{1}{j} \sum_{k = 1}^{\lfloor \frac{n}{j} \rfloor} u_k + \sum_{k=\lfloor \frac{n}{j} \rfloor}^{+\infty} u_k - \sum_{k=n}^{+\infty} u_k \underset{n \to +\infty}{\to} \frac{1}{j} \sum_{k = 1}^{+\infty} u_k.$$Ainsi, pour toute valeur d'adhérence $\ell$ de $w=(w_n)_n$, on a $$\forall j \in \mathbb{N}^*, \quad 0 \leq \ell \leq \frac{1}{j} \sum_{k = 1}^{+\infty} u_k,$$ ce qui donne par passage à la limite quand $j \to +\infty$ que $\ell = 0$ est l'unique valeur d'adhérence possible de $w$ dans $\mathbb{R}$. Cependant, $0 \leq w_n \leq \sum_{k = 1}^{+\infty} u_k$ donc $w$ est bornée ce qui implique que $w$ converge vers $0$, son unique valeur d'adhérence.
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NicoLeProf a dit :Si oui, je ne m'en sors pas si mal sachant que je ne pratique plus ce genre de chose (je suis rouillé quoi !)
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JLapin a dit :Change d'exo : celui-ci est inadapté car apparemment trop technique pour toi si tu n'utilises que des outils de première année et comme tu n'as pas revu de cours sur les séries de fonctions, tu ne peux pas utiliser les méthodes les plus efficaces.
Par contre la méthode astucieuse de bisam avec la transformation d'Abel me semble difficile.
Je ne vois pas la transformation d'Abel. -
Dommage pour toi, personne ne semble avoir envie de te guider sur une preuve epsilonnesque, tant il y a de façons de faire sans... Il faudrait que l'examinateur passe par ici.
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Merci beaucoup JLapin pour ton aide et tes précieux conseils !
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