Série entière

mathspe
mathspe
Modifié (August 2024) dans Analyse
Bonjour.
Soit $n\in\N^*$. Peut-on trouver $0<R<1$, tel que pour tout $0<r<R: \sum^\infty_{k=2} (1+k)^{n} r^k<2$
Merci d'avance

Réponses

  • JLapin
    JLapin
    On pose $$f(x)= \sum_{k=2}^{+\infty} (1+k)^n x^k.$$
    Que penses-tu de la limite de $f$ en $0$ ?
  • gebrane
    gebrane
    Rapidement sans vérification, 

    On fixe $n\in N$, je pose $R=\frac{e^{-n}}2$ donc $\forall r\in ]0,R[$ on a $e^n r<\frac 12$ On utilise la majoration $1+k<e^k$ pour avoir $(1+k)^nr^k<e^{nk}r^k=(e^n r)^k<(\frac 12)^k$ ce qui donne 


     $\sum_{k\geq 2} (1+k)^nr^k <\sum_{k\geq 2} (\frac 12)^k = \frac 12<2$
    Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..


  • mathspe
    mathspe
    Merci infiniment @gebrane and @JLapin.
    @gebrane. Tu as trouvé le $R$ explicitement.
    @JLapin, on utilise la continuité en 0, un tel $R$ existe.




  • bd2017
    bd2017
    Modifié (August 2024)
    mathspe a dit :
    @gebrane. Tu as trouvé le $R$ explicitement.

    Tu en es certain? car R=1. 

     
  • gebrane
    gebrane
    Bonsoir,  @bd2017

    Le R n'est pas unique et mon R convient, alors que votre R = 1 ne convient pas. Une première raison est qu'il faut un R qui vérifie R < 1.
    Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..


  • bd2017
    bd2017
    On a affaire à une série entière de rayon R=1, ou bien je suis encore à côté de la plaque ?
     
  • JLapin
    JLapin
    Oui et oui tout de même : relis la question :)
  • gebrane
    gebrane
    Modifié (August 2024)
    M'enfin bd, on ne demande pas de chercher le rayon de convergence d'une série entière qui est le sup de blabla mais seulement un R dans ]0,1[ vérifiant un  truc

    Ajout je reformule la question en remplaçant la condition R dans ]0,1[ par R>0
    Montrer que pour tout \( n \in \mathbb{N}^* \), il existe \( R_n > 0 \) tel que pour tout \( r \in ]0, R_n[ \), on ait \(\sum_{k=2}^{\infty} (1+k)^n r^k < 2\).

    On voit que \( R_n = 1 \) ne convient pas pour tous les \( n \). Par exemple, pour \( n = 2 \) et \( r = \frac{1}{2} \), on a \(\sum_{k=2}^{\infty} (1+k)^n r^k =\frac 94 + \text{ terme positif } > 2\).

    Question intéressante Chercher le $R_n$ maximal pour un $n$ donné
    Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..


  • mathspe
    mathspe
    @bd2017, on cherche seulement un R.
  • bd2017
    bd2017
    Modifié (August 2024)
    J'ai mal lu la question.  En fait le rayon de  convergence vaut $R_0=1.$  La fonction (notons là  $f(r)$) est croissante sur $[0,1[$ puis $f(0)=0$ et $f(r)$  tend vers l'infini  quand $r$ tend vers $1.$  
    Il  existe donc bien un nombre $R\in]0,1[$ répondant à la question.  Le nombre $R$  optimal est la solution de l'équation $f(R)=2.$ qui doit être très difficile à trouver à partir de $n=2$

     
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.

Bonjour!

Pour participer au forum, cliquer sur l'un des boutons :

Connexion S'inscrire

Catégories

In this Discussion

Français