Problème de Dirichlet
Bonjour,
Soit $L$ un opérateur elliptique sur la boule unité $B$ de $\C^n$. On considère le problème de Dirichlet
$Lu=0$ sur $B$ et $u=f$ sur la frontière de $B=S^{2n-1}$.
Alors $$u(z)=\int_{S^{2n-1}} P(z,w)f(w)d\sigma(w).$$
Ma question est-ce qu'il a une formule pour expliciter $P(z,w)$ dans le cas où l'opérateur $L$ admet des fonctions propres constituant une base de $L^2(B)$.
Merci
Soit $L$ un opérateur elliptique sur la boule unité $B$ de $\C^n$. On considère le problème de Dirichlet
$Lu=0$ sur $B$ et $u=f$ sur la frontière de $B=S^{2n-1}$.
Alors $$u(z)=\int_{S^{2n-1}} P(z,w)f(w)d\sigma(w).$$
Ma question est-ce qu'il a une formule pour expliciter $P(z,w)$ dans le cas où l'opérateur $L$ admet des fonctions propres constituant une base de $L^2(B)$.
Merci
Réponses
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Déjà es-tu capable de donner ce P pour $L=\Delta$ ?Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..
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oui pour $L=\Delta$ le noyau est connu.
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donne leLorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..
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Voir le fichier en bas.
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IL suffisait de dire que c'est le noyau de Poisson. Il y a un lien avec la fonction de Green. Si $Lu=0$ sur $\Omega$ et $u=f$ au bord
$u(y)=\int_{\partial \Omega}(f(x)\frac{\partial G(x-y)}{\partial \eta}-G(x-y)\frac {\partial f(x)}{\partial \eta })dx$Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs.. -
une référence SVP
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C'est à toi de trouver une référence. L'existence et l'unicité de la fonction de Green pour un opérateur elliptique sont assurées par des théorèmes. Cependant, dire que l'on dispose d'une expression valable pour tous les opérateurs est une illusion. Réveille-toi : nous n'avons pas d'expression générale pour le noyau, sauf dans des cas particuliers.
Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs.. -
je veux juste une référence de la formule
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Ca fait partie de la rechercheLorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..
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Bonjour!
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