Nature d'une série avec un sinus
Réponses
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Pas compris pourquoi ce DL est faux.OShine a dit :Je n'ai pas trop compris ce qu'apporte un DL avec une précision plus grande.
Je ne vois toujours pas comment résoudre l'exercice.
Posons : $\forall n \in \N \ u_n= \sin( \pi \sqrt{1+n^2})$.
On a : $u_n=\sin ( \pi n \sqrt{1+\dfrac{1}{n^2}} )$
Or : $ \sqrt{1+\dfrac{1}{n^2}} =1+ \dfrac{1}{2n^2}- \dfrac{1}{8 n^4}+o(\dfrac{1}{n^4})$.
D'où : $u_n=\sin( n \pi + \dfrac{\pi}{2n}- \dfrac{\pi}{8 n^3}+o(\dfrac{1}{n^3}) )$
Or : $\forall x \in \R \ \sin( n \pi +x)=(-1)^n \sin(x)$
Donc :
$u_n = (-1)^n \sin( \dfrac{\pi}{2n}- \dfrac{\pi}{8 n^3}+o(\dfrac{1}{n^3}) )= \boxed{(-1)^n ( \dfrac{\pi}{2n}- \dfrac{\pi}{8 n^3}+o(\dfrac{1}{n^3}) )}$
Ensuite, je bloque. -
J'ai fait avec les o.bd2017 a dit :Je suis d'accord aussi $\sum(-1)^n/n^3$ vérifie le critère des séries alternées , la décroissance de $1/ n^3$ étant évidente, il n'y a rien à redire sur cette justification d'@Oshine . Perso, j'aurais peut être fait pareil.Là où le bât blesse, c'est la justification de la CV de de $\sum O(1/n^2)$ de $\sum a_n $ et de $\sum (-1) a_n$ où $\sum a_n=o(1/n^3)$ .... mais bon...je crois que c'est raté pour aujourd'hui.
Je ne sais pas comment mieux justifier à cause du $(-1)^n o(1/n^3)$.
On ne sait pas si la suite $(o(1/n^3))$ est décroissante. -
Moi, je ne comprends pas ton "Donc". Est-ce parce que $\sin(x)=x$ ?
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Mais, tu as déjà proposé un autre DL sur ta feuille scannée, en faisant attention aux compositions de DL... Vous êtes plusieurs sur ce compte ?
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Je n'ai pas dit que l'utilisation des séries alternées était incorrect.Mais il me semble que dans toute étude de série numérique le premier réflexe devrait être "convergence absolue".
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On ne sait pas si la suite $(o(n^{-3}))$ est décroissante.Si vous êtes examinateur et que l'élève dit ça pendant l'oral, vous réagissez comment, vous vous dites quoi intérieurement ?Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
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Ca dépend du contexte. Ici, ce dont on parle est assez clair : c'est le reste du dernier DL effectué. Je ne me formaliserais pas plus que ça.
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@bd2017
Voici ma résolution finale de l'exercice.
On a : $u_n= (-1)^n \sin \left( \dfrac{\pi}{2n} -\dfrac{\pi}{8n^3} + o \left( \dfrac{1}{n^3} \right) \right)$
Au voisinage de $0$, on a : $\sin(x)=x- \dfrac{x^3}{6}+o(x^3)$.
Posons : $x = \dfrac{\pi}{2n} -\dfrac{\pi}{8n^3} + o \left( \dfrac{1}{n^3} \right) \longrightarrow 0$.
On a :- $x^2= \dfrac{\pi^2}{4n^2}+ o \left( \dfrac{1}{n^3} \right)$
- $x^3= \dfrac{\pi^3}{8n^3}+ o \left( \dfrac{1}{n^3} \right)$
$\boxed{u_n= (-1)^n \left( \dfrac{\pi}{2n} -\dfrac{6 \pi + \pi^3}{48 n^3} + o \left( \dfrac{1}{n^3} \right) \right)}$
On en déduit :
$\boxed{u_n=(-1)^n \dfrac{\pi}{2n}+ O \left( \dfrac{1}{n^2} \right)}$
La série $\displaystyle\sum_{n \geq 1} (-1)^n \dfrac{\pi}{2n}$ converge par le critère spécial des séries alternées.
La série $\displaystyle\sum_{n \geq 1} O \left( \dfrac{1}{n^2} \right)$ converge car la série $\displaystyle\sum_{n \geq 1} \dfrac{1}{n^2}$ converge.
Conclusion :
La série $\displaystyle\sum_{n \geq 0} \sin ( \pi \sqrt{1+n^2} )$ converge par somme de séries convergentes. -
Pour faire les choses proprement, tu dois éviter de parler de la série $\sum O(1/n^2)$ (normalement, ça n'apparait jamais dans un bouquin).Ici, tu dois poser $v_n = u_n - (-1)^n\dfrac{\pi}{2n}$, constater que $v_n = O(1/n^2)$ et en déduire que $\sum v_n$ est absolument convergente donc convergente, par comparaison à un exemple de Riemann (2>1).
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JLapin a dit :Je ne suis pas d'accord avec vos critiques sur l'inélégance de l'utilisation des séries alternées : le critère des séries alternées est beaucoup plus visuel que "absolue convergence implique convergence".L'artillerie lourde, c'est au contraire le passage à la valeur absolue selon moi.Je ne sais pas pourquoi plusieurs intervenants sont aussi énervés sur cette partie correcte du raisonnement proposé... Sans doute ne fréquentent-ils que des élèves qui proposent des raisonnements corrects mais parfois un peu en dehors des clous et qu'il convient alors de sermonner durement puisque "qui aime bien châtie bien".C'est tout simplement la façon "traditionnelle" dont on étudie la convergence d'une série numérique. On regarde d'abord si elle est à termes positifs, car on a un certain nombre de théorèmes à disposition : comparaison, équivalents, etc.Ensuite, si ce n'est pas le cas, convergence absolue, car alors on a les théorèmes précédents.Puis si c'est une série alternée, le critère spécial.Et enfin, si rien de ce qui est fait précédemment ne fonctionne, ben la méthode utilisée ici en passant par des développements asymptotiques par exemple.Ceci est le plan d'un cours "normal" il me semble
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Bonjour,
moi non plus, je ne clabaude pas sur la règle des séries alternées car elle donne immédiatement une majoration du reste
et car cette majoration est meilleure que celle que donne la règle de la cv absolue lorsque les deux s'appliquent.
Exemple : $r_n=\sum_{k=n+1}^{+\infty}(-1)^k/k^2$ ; la règle des séries alternées donne $|r_n|\leqslant 1/(n+1)^2$ alors que l'IT donne $|r_n|\leqslant1/n$. -
D'accord merci.JLapin a dit :Pour faire les choses proprement, tu dois éviter de parler de la série $\sum O(1/n^2)$ (normalement, ça n'apparait jamais dans un bouquin).Ici, tu dois poser $v_n = u_n - (-1)^n\dfrac{\pi}{2n}$, constater que $v_n = O(1/n^2)$ et en déduire que $\sum v_n$ est absolument convergente donc convergente, par comparaison à un exemple de Riemann (2>1). -
On peut traiter la question sans faire aucun DLLorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..
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Un tel traitement de cette question me choque énormément
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Je ne comprends pas pourquoi ca te choque, si tu ne sais pas le comment tu me le demandes pour te montrer le comment
La présence de $\pi$ est révélatrice, dirige ta pensée vers $\sin(n\pi)=0$ et $\cos(n\pi)=(-1)^n$, d'où la naissance d'une série alternéeLorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs.. -
Pas besoin, je sais faire
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et pourquoi ca te choque cette procédure de faire ?Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..
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Lis l'ensemble du fil et tiens compte de mon smiley.
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J'ai lu en diagonale, donc je comprends que quelqu'un avait proposé la même chose. Mea culpa.
Tu as raison d'être choquéLorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs.. -
J'ai revu le fil message par message. La méthode que je propose n'est pas proposée avant.Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..
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Oui je suis intéressé.« je sais que la question de départ est bizarre de la part d'un professeur certifié ».
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Bonjour @Lirone93
Le but est d'écrire carrément $u_n=(-1)^n v_n$ avec $v_n$ une suite positive décroissante de limite nulle. Jlapin voit le comment, bd2017 voit le comment, je sais qu'avec une petite réflexion, tu verras aussi le comment mais j'en doute pour OshineLorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs.. -
Puisque tu connais les $O$ , $\sin(x)=x+O(x^3)$ et $\sqrt{1+x}=1+x/2+O(x^2)$ permettent de résoudre l'exercice avec moins de calculs.
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Gebrane : oui, avec une formule de trigo.« je sais que la question de départ est bizarre de la part d'un professeur certifié ».
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Avec le théorème spécial et fondamental de la géométrie des groupes alternés,pas besoin de développements limitésni de limiter les développements
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Exact .Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..
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Oshine, Une question intéressante: Si on te demande d'étudier la nature de la série $\sum \sin(\sqrt{1+n^2})$
Tu procèdes comment ? ( j'ai enlevé seulement le $\pi$
) Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs.. -
Tu sais pertinemment qu'il ne saura pas répondre à ta question. Plutôt que de lui mettre la tête sous l'eau, présente lui ta preuve directement.
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Ton point de vue Jlapin est su et enregistré, mais ce qui m'intéresse, c'est le point de vue de Oshine sur la question
Ah j'ai oublié de dire, si tu ne vois pas aussi le comment, dit le pour te l'expliquer
Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs.. -
En voyant ta question, je me suis dit : ouchhh, comment OShine peut-il répondre à ça, à part en disant que dans son livre, il n'y a pas la réponse.
JLapin est visiblement arrivé à la même conclusion, il a juste poussé l'analyse un peu plus loin.Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin -
Mais lourrran la question n'est pas si compliquée, je suis certain que Oshine a la capacité de démontrer que la série diverge grossièrementLorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..
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Lol.
Tu demandais la nature de la série ....
Maintenant, tu donnes un indice monumental, tu dis que la série est grossièrement divergente. Ca y est, maintenant, Oshine sait faire.
Les exercices du type 'Montrer que blablabla', il s'en sort à peu près.Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin -
Tu as raison, je n'aurais pas dû indiquer ce qu'il doit démontrerLorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..
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Alors, pour rattraper le spoiler de gebrane, il pourra se demander pour quelles valeurs de $\theta$ la série de terme général $\sin(\theta\sqrt{1+n^2})$ converge.
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gebrane a dit :Ton point de vue Jlapin est su et enregistré, mais ce qui m'intéresse, c'est le point de vue de Oshine sur la question
Ah j'ai oublié de dire, si tu ne vois pas aussi le comment, dit le pour te l'expliquerTu sais que je sais faire et tu sais également qu'Oshine ne sait pas faire : je trouve certains de tes messages malsains. Je n'aime pas du tout le harcèlement.Si tu veux présenter aux lecteurs un complément à l'exercice, fait le sans tourner autour du pot, avec simplicité. -
JLapin a dit :Plutôt que de lui mettre la tête sous l'eau, présente lui ta preuve directement.J'ai posé une question à Oshine et non aux lecteurs du fil, il ne fallait pas se sentir concerné ou obligé d'y répondre. Cette question est formatrice de mon point de vue et je souhaitais recevoir en premier lieu une réponse d'Oshine, mais après, les lecteurs peuvent réagir suivant ses réponses. Dire que j'avais l'intention de noyer ou de ridiculiser Oshine avec ton expression "mettre sa tête sous l'eau", je trouve cela choquant. Me dire de répondre à ma propre question, je trouve cela étrange et incompréhensible comme demande. Je connais Oshine avant de te connaître, sauf si tu es un ancien membre qui a changé de pseudo, et Oshine sait très bien qu'on lui pose des questions pour sa formation. Maintenant, tu peux dire la même chose à la question d'Alea qui est plus profonde. Crois-tu qu'Oshine va y répondre correctement ? et pourquoi tu ne demandes pas aussi à Alea de répondre à sa propre question.
En résumé, s'il te plaît, quand je pose une question nominative, laissons le concerné y répondre en premier lieu et suivant sa réponse, on peut critiquer, développer le contenu ou l'aider en cas de blocage.Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs.. -
Le malentendu vient du fait que JLapin a pensé que gebrane s'adressait à lui lorsqu'il a dit : Ah j'ai oublié de dire, si tu ne vois pas aussi le comment, dit le pour te l'expliquer
PS : enfin, j'espère ne pas me tromper... -
Oui, je crois que c'était le cas. Mais je peux me tromper : si c'est le cas, mes excuses !
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bof, tu sais bien que je sais que tu es Ulmien et donc tu sais tout faire de L1 à L3 et je précise
Ah j'ai oublié de dire, Oshine si tu ne vois pas aussi le comment, dit le pour te l'expliquer . Le aussi est révélateur car Oshine n as pas su traiter la série du fil $\sum \sin(\pi \sqrt{1+n^2}$ donc je demande s'il bloque aussi $\sum \sin( \sqrt{1+n^2}$Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs.. -
Ok, vois-tu comment démontrer que le terme général ne tend pas vers 0 ?Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..
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Je peux essayer de le démonter merci pour l'indication.
Peut-être je dois regarder du côté des suites extraites.
Je n'ai plus d'ordinateur pour le moment, je ferai ça sur feuille. -
Bonjouril faut découper la question en sous questions.Q1 M.q si le terme général $ \sin(\sqrt{1+n^2})$ tend vers $0$ alors la suite $v_n=\sin(n)$ tend vers $0$.Q2. Mq que la suite $v_n$ ne tend pas vers $0.$ (on pourra considérer $\sin(n+1)$)Q3. Conclure.
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Q1) Supposons par l'absurde que $u$ définie par $\sin(\sqrt{1+n^2})$ tend vers $0$ et $v$ définie par $v_n=\sin(n)$ ne tend pas vers $0$.
Alors $u_n=v_{1+n^2}$ est une suite extraite de $v$ qui tend vers $0$ ce qui est absurde.
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Je ne pige pasLorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..
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Je ne sais pas faire la question 1.
Q2) Supposons que $v$ tend vers $0$.
On a $\sin(n+1)=\sin(n) \cos(1)+\sin(1) \cos(n)$
Or $(\sin (n+1))$ est une suite extraite de $v$ elle tendrait vers $0$ aussi.
Par conséquent $\cos n \longrightarrow 0$ ce qui contredit l'égalité $\cos^2(n)+\sin^2(n)=1$.
Q3) Contraposée de Q1.
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Il te reste Q1. Tu peux !Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..
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