Espaces euclidiens, famille extraite libre

D'accord.
J'ai parlé trop vite, je bloque sur Q3. 

1) Soit $(i,j) \in [|1,p|]^2$ avec $i \ne j$.
On a : $\lambda_i \lambda_j \leq | \lambda_i | | \lambda_j|$.
Comme $\langle e_i , e_j \rangle <0$, on en déduit : 
$\boxed{\lambda_i \lambda_j \langle e_i , e_j \rangle \geq  | \lambda_i | | \lambda_j|  \langle e_i , e_j \rangle}$

2) D'une part : 
$\Big\lVert \displaystyle\sum_{i=1}^{p-1} \lambda_i e_i \Big\rVert^2= \langle \displaystyle\sum_{i=1}^{p-1} \lambda_i e_i  , \displaystyle\sum_{j=1}^{p-1} \lambda_j e_j   \rangle =\displaystyle\sum_{i=1}^{p-1} \displaystyle\sum_{j=1}^{p-1} \lambda_i \lambda_j \langle e_i,e_j \rangle  $
D'autre part : 
$\Big\lVert \displaystyle\sum_{i=1}^{p-1} |\lambda_i | e_i \Big\rVert^2= \langle \displaystyle\sum_{i=1}^{p-1} |\lambda_i | e_i  , \displaystyle\sum_{j=1}^{p-1} | \lambda_j | e_j   \rangle =\displaystyle\sum_{i=1}^{p-1} \displaystyle\sum_{j=1}^{p-1} | \lambda_i | | \lambda_j | \langle e_i,e_j \rangle  $
D'après la question 1, on en déduit immédiatement : 
$\boxed{\Big\lVert \displaystyle\sum_{i=1}^{p-1} \lambda_i e_i \Big\rVert^2 \geq \Big\lVert \displaystyle\sum_{i=1}^{p-1} |\lambda_i | e_i \Big\rVert^2}$
Si $\displaystyle\sum_{i=1}^{p-1} \lambda_i e_i=0$ alors $\Big\lVert \displaystyle\sum_{i=1}^{p-1} \lambda_i e_i \Big\rVert^2 =0$ donc : $\Big\lVert \displaystyle\sum_{i=1}^{p-1} |\lambda_i | e_i \Big\rVert^2=0$ et finalement $\displaystyle\sum_{i=1}^{p-1} |\lambda_i | e_i=0$.
On a montré : 
$\boxed{\displaystyle\sum_{i=1}^{p-1} \lambda_i  e_i =0 \implies \displaystyle\sum_{i=1}^{p-1} |\lambda_i | e_i =0}$.

3) Soit $(u_1, \cdots, u_{p-1})$ une famille de $p-1$ vecteurs extraite de $(e_1, \cdots, e_p)$.
Montrons que $(u_1, \cdots, u_p)$ est libre.
Soit $a_1, \cdots, a_{p-1} \in \R^{p-1}$ tel que : $\displaystyle\sum_{i=1}^{p-1} a_i u_i=0$.

Je ne comprends pas pourquoi il suffit de considérer la famille $(e_1, \cdots , e_{p-1})$.
Pourquoi pas $(e_2, \cdots, e_p)$ ?

@lourran
Bien vu, erreur d'énoncé, l'hypothèse $\langle e_i, e_j  \rangle <0$ n'est valable que pour $i \ne j$.

@bd2017
Oui je suis lent désolé.
Avec mes vacances et les JO, j'ai peu de temps à consacrer aux maths. J'essaie de pratiquer 1 heure par jour.
3) Montrons que $(e_1, \cdots, e_{p-1})$ est libre.
Soit $(\lambda_1, \cdots, \lambda_{p-1}) \in \R^{p-1}$ tel que : $\displaystyle\sum_{i=1}^{p-1} \lambda_i e_i =0$.
On a : $\langle \displaystyle\sum_{i=1}^{p-1} |\lambda_i| e_i ,e_p \rangle = \displaystyle\sum_{i=1}^{p-1}| \lambda_i | \langle e_i ,e_p \rangle=0$ d'après la question $2$.
Par l'absurde, si la famille $(e_1, \cdots, e_{p-1})$ n'est pas libre, il existe $m \in [|1,p-1|]$ tel que : $\lambda_m \ne 0$.
Ainsi : 
$|\lambda_m | \langle e_m,e_p \rangle = \displaystyle\sum_{i \in [|1,p-1|] \\ i \ne m} | \lambda_i | (-\langle e_i ,e_p \rangle)=0$
Avec : 

• $|\lambda_m | \langle e_m,e_p \rangle <0$
• $\displaystyle\sum_{i \in [|1,p-1|] \\ i \ne m} | \lambda_i | (- \langle e_i ,e_p \rangle) \geq 0$

Ce qui est absurde. Donc $\forall i \in [|1,p-1|] \ \lambda_i=0$ et la famille $(e_1, \cdots, e_{p-1})$ est libre.
Considérons à présent une famille quelconque de $p-1$ vecteurs de $(e_1, \cdots, e_p)$.
Je bloque sur ce cas.

@gebrane
Je n'ai pas réussi à traiter le cas général, seulement le cas $(e_1, \cdots, e_{p-1})$.

@noobey
Ah d'accord merci.

@lourran
Il y avait une erreur d'énoncé.
$\langle e_i,e_i \rangle = || e_i ||^2 \geq 0$.