Nature d'une série avec un sinus
Réponses
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Bonjour
tu cherches un équivalent simple du terme général de la série
$u_n = sin\frac{\pi(n^2+1)}{\sqrt{n^2+1}}=sin\frac{\pi.n+\frac{\pi}{n}}{\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}}$
tu effectues un DL sur l'argument du sinus soit $sin\pi.n(1-\frac{1}{2n^2})$
soit encore $sin(\pi.n-\frac{\pi}{2n})=sin(\pi.n)cos\frac{\pi}{2n}-cos(\pi.n)sin\frac{\pi}{2n}$
l'équivalent de $u_n$ est $-(-1)^n\frac{\pi}{2n}$ puisque $sin(\pi.n)$ est nul
ton équivalent est le terme général d'une série convergente vers $-\frac{\pi}{2}ln2$
la limite de ta série est moins simple (à cause des premiers termes)
mais sa convergence est certaine
Cordialement
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Merci mais j'ai fait différemment, je trouve un équivalent légèrement différent.
Posons : $\forall n \in \N \ u_n= \sin( \pi \sqrt{1+n^2})$.
On a : $u_n=\sin ( \pi n \sqrt{1+\dfrac{1}{n^2}} )$
Or : $ \sqrt{1+\dfrac{1}{n^2}} =1+ \dfrac{1}{2n^2}+o(\dfrac{1}{n^2})$.
D'où : $u_n=\sin( n \pi + \dfrac{\pi}{2n}+o(\dfrac{1}{n}) )$
Or : $\forall x \in \R \ \sin( n \pi +x)=(-1)^n \sin(x)$
Donc :
$u_n = (-1)^n \sin( \dfrac{\pi}{2n}+o(\dfrac{1}{n}) )=(-1)^n ( \dfrac{\pi}{2n}+o(\dfrac{1}{n}) )$
Ainsi : $\boxed{u_n \sim (-1)^n \dfrac{\pi}{2n}}$.
Comment conclure ? Le cours donne des résultats que pour les séries à termes positifs...
La série $\sum_{n \geq 1} (-1)^n \dfrac{\pi}{2n}$ est alternée.
Je bloque ici.
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Il faut aller un cran plus loin dans le développement.
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D'accord je fais ça.
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Je n'ai pas trop compris ce qu'apporte un DL avec une précision plus grande.
Je ne vois toujours pas comment résoudre l'exercice.
Posons : $\forall n \in \N \ u_n= \sin( \pi \sqrt{1+n^2})$.
On a : $u_n=\sin ( \pi n \sqrt{1+\dfrac{1}{n^2}} )$
Or : $ \sqrt{1+\dfrac{1}{n^2}} =1+ \dfrac{1}{2n^2}- \dfrac{1}{8 n^4}+o(\dfrac{1}{n^4})$.
D'où : $u_n=\sin( n \pi + \dfrac{\pi}{2n}- \dfrac{\pi}{8 n^3}+o(\dfrac{1}{n^3}) )$
Or : $\forall x \in \R \ \sin( n \pi +x)=(-1)^n \sin(x)$
Donc :
$u_n = (-1)^n \sin( \dfrac{\pi}{2n}- \dfrac{\pi}{8 n^3}+o(\dfrac{1}{n^3}) )= \boxed{(-1)^n ( \dfrac{\pi}{2n}- \dfrac{\pi}{8 n^3}+o(\dfrac{1}{n^3}) )}$
Ensuite, je bloque. -
Tu es au courant qu'une somme de séries convergentes est une série convergente ?Je ne comprends pas pourquoi tu cherches des exos avant d'apprendre un cours.
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Ah je crois que je vois.
Critère spécial des séries alternées + critère de Riemann.
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Tu bloques sur une transformation de $u_n$ comme somme de trois séries convergentes ?Tu ne sais donc pas développer $(-1)^n(a_n+b_n+c_n)$ ???C'est au delà du réel...
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Une remarque: le DL de $u_n$ est faux. Mais le raisonnement à faire ne change pas.
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Si c'est bon merci.
$u_n=(-1)^n \dfrac{\pi}{2n} - (-1)^n \dfrac{\pi}{8 n^3} +o(\dfrac{1}{n^3})$.
Les séries $\sum_{n \geq 1} (-1)^n \dfrac{\pi}{2n}$ et $\sum_{n \geq 1} (-1)^n \dfrac{\pi}{8 n^3}$ convergent par le critère spécial des séries alternées.
La série $\sum_{n \geq 1} o(\dfrac{1}{n^3})$ car la série $\sum_{n \geq 1} \dfrac{1}{n^3}$ converge (critère de Riemann).
Par somme de séries convergente, la série $\sum_{n \geq 0} \sin ( \pi \sqrt{1+n^2} )$ converge. -
En fait la somme des $\frac{1}{n^a}$, converge si $a \gt 1$ mais je ne crois pas que ce soit ca vraiment le critère de Riemann (sauf erreur de ma part).
La règle de Riemann est plus générale et ici on a un cas vraiment très particulier.
C'est peu le marteau pour un mouche.
Je dis cela car on ne s'attend peut-être pas forcément à le voir évoqué ici.
Au contraire, on peut considérer que ce que j'ai dit au début est de l'ordre de la « boîte à outils » de base, qu'on a pas besoin de justifier surtout avec un critère si général.
Enfin, je suis d'accord que c'est de l'ordre du détail.
Edit : un peu idem dans une moindre mesure, pour le « critère spécial des séries alternées ».
Mais c'est aussi une question de goûts et de couleurs.
« je sais que la question de départ est bizarre de la part d'un professeur certifié ». -
Tu préfères "par comparaison à un exemple de Riemann" ?Pour ma part, les deux me conviennent.
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Le terme en $\dfrac{1}{n^3}$ est faux. (la constante $-\dfrac{\pi}{8}$ n'est pas bonne).
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J'ai vérifié la table des DL et je ne vois pas d'erreur.
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Qu'est ce que ça veut dire vérifier la table des DL? Le Dl correct de $u_n$ ne se lit pas dans une table mais s'obtient par un calcul correct.L'erreur est dans la dernière égalité, je ne vois pas comment tu est passé à l'encadré.En mettant les détails tu verras bien que c'est faux.
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$\sin(x)=x +o(x)$
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Et tu remplaces $x$ par quoi dans le $o(x)$ ? Si on te dit que c'est faux, c'est que c'est faux...
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Il est plus économique d'écrire le DL $u_n = (-1)^n \sin( \dfrac{\pi}{2n})+{\rm O}(1/n^2)$ car un O d'une série AC est AC (utiliser un o oblige souvent à écrire un terme de plus).
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Le fait que j'ai mentionné plus haut :
La somme des $\frac{1}{n^a}$, converge si $a\gt 1$ (et diverge si $a \le 1$).
On peut montrer peut-être cela en montrant que c'est une somme de Riemann mais, je ne connais pas, ou alors je l'ai oublié, la « règle de Riemann ».
Et pour le critère des séries alternées (j'ai enlevé le facteur avec $\pi$) :
$\sum_{n \geq 1} (-1)^n \dfrac{1}{n^3} \le \sum_{n \geq 1} |(-1)^n \dfrac{1}{n^3}|$
$ \le \sum_{n \geq 1} \dfrac{1}{n^3}$, qui converge (le résultat plus haut), donc
$\sum_{n \geq 1} (-1)^n \dfrac{1}{n^3}$ converge.« je sais que la question de départ est bizarre de la part d'un professeur certifié ». -
Je crois que tu confonds "sommes de Riemann" et "exemples de Riemann" ou "critère de Riemann".Le fait que tu mentionnes plus haut est précisément appelé "exemples ou critère de Riemann".Par ailleurs, ta rédaction de la preuve de la convergence de $\sum (-1)^n/n^3$ n'est pas très orthodoxe, même si je suis d'accord avec toi sur la pertinence de ne pas utiliser le théorème des séries alternées pour cette série.
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Lirone : le fait que l'on peut majorer une somme ne prouve pas qu'elle a un sens ; pense à $1-1+1-1+1-1+1\cdots\leqslant1$.
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Pas trop compris.« je sais que la question de départ est bizarre de la part d'un professeur certifié ».
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$(S_n) = (\sum_{k=1}^n u_k)$ bornée et $u_n\to 0$ n'implique pas que $\sum u_n$ est une série convergente.Tu peux retenter ta chance
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C'est un exercice sur les séries alternées. Tu as déjà posté différentes discussions sur le même thème. Mais, c'était avant. Avant le reformatage du disque dur. Donc repars à zéro, Relis les premiers chapitres, relis éventuellement les discussions similaires que tu as lancées en 2020 ou 2022 ou il y a 4 mois...
Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin -
Voici mon calcul.
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Tu as $a_n = o(1/n^3)$ et tu souhaites montrer que $\sum (-1)^n a_n$ est une série convergente.Relis ton cours et trouve la propriété qui va bien.
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Il y a un résultat, que je connais sous le nom 'un coup dans le zig, un coup dans le zag'. Si ton cours est bien fait, tu devrais le trouver.
Il dit que si on a une suite alternée, décroissante en valeur absolue, qui tend vers 0, alors la somme des termes de cette série converge.
Mais en fait, plutôt que retenir cette longue phrase, on retient ce dessin :
On descend (-4) puis on monte (+3.9) puis on descend (-3.7), puis on monte (+3.6), etc. A chaque segment on monte (ou on descend) un peu moins qu'à l'étape d'avant. Du coup, la somme reste dans un intervalle qui est de plus en plus petit ; un peu comme un type qui serait entre 2 gendarmes et qui serait de plus en plus à l'étroit.Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin -
Invoquer le théorème spécifique aux séries alternées pour étudier $\Sigma\dfrac{(-1)^nK}{n^3}$ cela me choque énormément !
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Ca peut choquer (pas énormément pour ma part) mais ce n'est pas faux.
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**convergence absolue**
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Bon, pour avoir relevé une erreur dans le calcul du D.L, je vois qu'il y a encore à apprendre pour savoir faire un D.L. Pour cela il faut répondre aux questions de ce post restées en suspens1. Ton message précédent montre qu'on ne peut plus accepter la réponse "$\sum_{n\geq 0}o(1/n^3) $ converge car $\sum 1/n^3$ converge . En effet la justification est vague (rapide à mon sens), mais vu ce que tu viens de dire dans ce message précédent, maintenant j'ai un doute si on te demande d'être plus précis.2. @john_john dit que $u_n=(-1)^n\dfrac{\pi}{2n}+O(1/n^2)$ suffit pour dire que la suite est convergente....tu peux expliquer pourquoi?3. Une question : quel est le signe de $a_n=o(1/n^3)?$
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Non, le cours s'applique en tout temps et en tout lieu. En revanche, dans "le cours", il y a plusieurs propriétés. A toi de choisir la bonne.OShine a dit :
Le cours s'applique si la suite $(a_n)$ est décroissante mais ici on n'en sait rien.JLapin a dit :Tu as $a_n = o(1/n^3)$ et tu souhaites montrer que $\sum (-1)^n a_n$ est une série convergente.
Je partage le doute du message précédent sur le point 1.
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@bd2017
Je ne vois toujours pas l'erreur du DL. Tu trouves quoi ?
Je réponds à 1 et 3 en même temps.
Je ne peux pas vérifier avec un logiciel de calcul formel pour mon DL car ils ne font que des DL et là il s'agit d'un développement asymptotique.
1) Montrons que la série $\displaystyle\sum_{n \geq 1} (-1)^n o \left( \dfrac{1}{n^3} \right)$ converge.
Toute série absolument convergente étant convergente, il suffit de montrer que la série $\displaystyle\sum_{n \geq 1} | o \left( \dfrac{1}{n^3} \right) |$ converge.
Mais : $o \left( \dfrac{1}{n^3} \right) =\dfrac{1}{n^3} \varepsilon_n$ avec $\varepsilon_n \longrightarrow 0$.
Et : $| o \left( \dfrac{1}{n^3} \right) | = \dfrac{1}{n^3} |\varepsilon_n |$ avec $|\varepsilon_n | \longrightarrow 0$.
Donc : $\displaystyle\sum_{n \geq 1} | o \left( \dfrac{1}{n^3} \right) | =\displaystyle\sum_{n \geq 1} o \left( \dfrac{1}{n^3} \right)$.
La série $\displaystyle\sum_{n \geq 1} \dfrac{1}{n^3}$ converge (série de Riemann) donc la série $\displaystyle\sum_{n \geq 1} (-1)^n o \left( \dfrac{1}{n^3} \right)$ converge.
3) On ne connait pas le signe de $a_n= o( \dfrac{1}{n^3} )$.
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On a : $v_n = u_n -(-1)^n \dfrac{\pi}{2n} = O(1/n^2)$bd2017 a dit :2. @john_john dit que $u_n=(-1)^n\dfrac{\pi}{2n}+O(1/n^2)$ suffit pour dire que la suite est convergente....tu peux expliquer pourquoi?
La série $\sum_{n \geq 1} \dfrac{1}{n^2}$ converge (série de Riemann), la série $\sum_{n \geq 1} (-1)^n \dfrac{\pi}{2n}$ converge (CSA) donc la série $\sum_{n \geq 1} u_n$ converge.
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Oui, mais comme je l'ai dit précédemment, j'ai un doute sur ta justification "la série $ \sum O(1/n^2)$ converge car la série $\sum 1/n^2$ converge"Il faut bien comprendre le sens de ma remarque, ce n'est pas faux mais c'est la même remarque que quand tu dis "la série $\sum o(1/n^3)$ converge car la série $\sum 1/n^3$ converge"Ce n'est pas faux mais une explication du raisonnement que tu utilises enlèverait mes doutes.En effet si tu sais bien pourquoi cela est vrai, il me semble bizarre que tu ne saches pas pourquoi la série $\sum (-1)^n a_n$ (avec $a_n=o(1/n^3)$) converge
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Ce sont des résultats du cours de sup. Ils apparaissent dans n'importe quel résumé de cours sur les séries.
Il faut tout redémontrer ?
Le $(-1)^n$ m'a dérangé mais j'ai pensé à la convergence absolue.
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Pour le DL j'aimerais bien avoir le résultat correct si quelqu'un a fait le calcul.
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Non il ne faut pas tout démontrer. Mais dire pourquoi "la série $\sum o(1/n^3)$ converge car la série $\sum 1/n^3$ converge" autrement que de dire que c'est dans un cours de sup.
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OShine a dit :Je ne peux pas vérifier avec un logiciel de calcul formel pour mon DL car ils ne font que des DL et là il s'agit d'un développement asymptotique.Pardon ? Xcas, logiciel libre, gratuit et français - cocorico - fait ça très bien sans problème, et en n'importe quel point ! Il suffit de lui demander poliment :taylor(sin(pi*sqrt(1+n^2)),n=+infinity,5)avec éventuellement avant un assume(n,integer) pour pouvoir simplifier.Moi aussi ! c'est sortir l'artillerie lourde pour écraser une misérable mouche qu'il va louper en plus !rakam a dit :Invoquer le théorème spécifique aux séries alternées pour étudier $\Sigma\dfrac{(-1)^nK}{n^3}$ cela me choque énormément !
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Je ne suis pas d'accord avec vos critiques sur l'inélégance de l'utilisation des séries alternées : le critère des séries alternées est beaucoup plus visuel que "absolue convergence implique convergence".L'artillerie lourde, c'est au contraire le passage à la valeur absolue selon moi.Je ne sais pas pourquoi plusieurs intervenants sont aussi énervés sur cette partie correcte du raisonnement proposé... Sans doute ne fréquentent-ils que des élèves qui proposent des raisonnements corrects mais parfois un peu en dehors des clous et qu'il convient alors de sermonner durement puisque "qui aime bien châtie bien".
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Je suis d'accord aussi $\sum(-1)^n/n^3$ vérifie le critère des séries alternées , la décroissance de $1/ n^3$ étant évidente, il n'y a rien à redire sur cette justification d'@Oshine . Perso, j'aurais peut être fait pareil.Là où le bât blesse, c'est la justification de la CV de de $\sum O(1/n^2)$ de $\sum a_n $ et de $\sum (-1) a_n$ où $\sum a_n=o(1/n^3)$ .... mais bon...je crois que c'est raté pour aujourd'hui.
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Plutôt je pense maintenant qu'elles ont autant d'élégance l'une que l'autre. C'est-à-dire que la série converge pour plusieurs raisons.JLapin a dit :Je ne suis pas d'accord avec vos critiques sur l'inélégance de l'utilisation des séries alternées : le critère des séries alternées est beaucoup plus visuel que "absolue convergence implique convergence".
On choisit un peu au hasard, whatever, ca ne fait pas sens de vouloir comparer ou choisir.
C'est dans ce sens que cet exercice est peut-être critiquable.« je sais que la question de départ est bizarre de la part d'un professeur certifié ». -
C'est un exercice d'oral... le prof pose la question, et voit ce que l'élève raconte. Et le prof pose en principe des questions complémentaires, sur les étapes que l'élève a mal expliquées.
A l'oral, c'est une base parfaite.Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin -
Oui, je le trouve très bien cet exo.
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Critiquer, je précise, dans le positif et/ou le négatif.« je sais que la question de départ est bizarre de la part d'un professeur certifié ».
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