Méthode(s) pour un développement asymptotique

Homo Topi
Homo Topi
dans Analyse
Coucou ! Je refais un peu de maths en ce moment pour le fun, et je voulais travailler un peu les développements asymptotiques de suites. Je pense avoir surmonté ma phobie des calculs avec des équivalents et des $o$, maintenant je me questionne davantage sur les méthodes. Je suis tombé sur cette page d'exercices et je regardais les exercices 1 et 2, qui traitent la même équation. Résumé rapide :

Partant de l'équation
$\boxed{x_n + \ln(x_n) = n} \quad (\ast)$
On établit rapidement (une étude de variations et une croissance comparée)
$x_n = n + o(n) \quad (1)$
Ensuite, on appelle $y_n = x_n - n$ le $o(n)$ et de $(\ast)$ on déduit une équation importante
$\boxed{y_n = - \ln(x_n)} \quad (E)$
En réinjectant $(1)$ dans $(E)$ on obtient après une petite simplification que $y_n = - \ln(n)+o(1)$, donc on obtient le développent plus fin
$x_n = n - \ln(n) + o(1) \quad (2)$
On continue, on appelle $z_n = x_n - n + \ln(n)$ le $o(1)$. Puisque $z_n = y_n + \ln(n) = -\ln(x_n) + \ln(n)$, on injecte $(2)$ là-dedans et on finit par trouver
$z_n = -\ln \bigg(1 - \dfrac{\ln(n)}{n} + o\Big( \dfrac{1}{n}\Big) \bigg)$
Donc $z_n = -\ln(1-t)$ avec $t \longrightarrow 0$, donc un DL à l'ordre 1 donne
$z_n = \dfrac{\ln(n)}{n} + o\bigg( \dfrac{\ln(n)}{n}\bigg)$
De sorte que
$x_n = n - \ln(n) + \dfrac{\ln(n)}{n} + o\bigg( \dfrac{\ln(n)}{n}\bigg) \quad (3)$
L'exercice s'arrête ici. Pour m'entraîner à quelque chose sans pouvoir être tenté par une correction, j'ai voulu pousser le développement asymptotique de $x_n$ un cran plus loin par moi-même.

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Je rebelote donc encore la même méthode, j'appelle le dernier $o$
$a_n = x_n - n + \ln(n) - \dfrac{\ln(n)}{n}$. 
Avec $z_n$, on avait réutilisé le fait que $z_n = y_n + \ln(n)$ et que $y_n$ vérifie l'équation $(E)$ pour réinjecter $x_n$, et donc notre plus récent développement asymptotique de $x_n$, dans le schmilblick et avancer. Je n'ai pas de nouvelle équation plus précise ou "utile" que $(E)$ donc je refais la même chose. J'obtiens
$a_n = -\ln(x_n) + \ln(n) - \dfrac{\ln(n)}{n}$
Maintenant j'utilise $(3)$ :
$a_n = -\ln\bigg[n - \ln(n) + \dfrac{\ln(n)}{n} + o\bigg( \dfrac{\ln(n)}{n}\bigg)\bigg] + \ln(n) - \dfrac{\ln(n)}{n}$
$= \cancel{-\ln(n)} - \ln\bigg[1 - \dfrac{\ln(n)}{n} + \dfrac{\ln(n)}{n^2} + o\bigg( \dfrac{\ln(n)}{n^2}\bigg)\bigg] + \cancel{\ln(n)} - \dfrac{\ln(n)}{n}$
J'ai voulu refaire un DL à l'ordre $1$, mais en faisant ça on se retrouve avec un terme $o \bigg( \dfrac{\ln(n)}{n}\bigg)$ qui absorbe tous les $o \bigg( \dfrac{\ln(n)}{n^2}\bigg)$ et dont on ne peut pas se débarrasser : 
$a_n = - \ln\bigg[1 - \dfrac{\ln(n)}{n} + \dfrac{\ln(n)}{n^2} + o\bigg( \dfrac{\ln(n)}{n^2}\bigg)\bigg]  - \dfrac{\ln(n)}{n}$
$= \dfrac{\ln(n)}{n} - \dfrac{\ln(n)}{n^2} + o\bigg( \dfrac{\ln(n)}{n^2}\bigg) + o\bigg(- \dfrac{\ln(n)}{n} + \dfrac{\ln(n)}{n^2} + o\bigg( \dfrac{\ln(n)}{n^2}\bigg)\bigg)$
Je vois qu'il suffit de pousser le DL à l'ordre 2 pour ne plus avoir de $o \bigg( \dfrac{\ln(n)}{n}\bigg)$ et je vais faire ça en prochain. Je suppose que c'est complètement logique que si je refais le DL au même ordre qu'avant, de l'équation $(E)$, je ne peux pas obtenir de nouvelle information, et que donc j'aurais pu essayer à l'ordre 2 tout de suite, mais j'ai une question : 
Est-ce qu'il y a une méthode plus rapide pour obtenir un développement asymptotique de la suite $x_n$ à n'importe quel degré de précision dans les études de suites implicites du type $f(x_n)=[...]$ ? Parce que là, à part espérer avoir une équation exploitable comme $(E)$, réinjecter le dernier développement obtenu dedans, et faire un DL de plus en plus précis, en boucle, je ne sais pas faire autrement.
Question subsidiaire : peut-on trouver, dans cet exercice, une équation à réutiliser comme $(E)$, mais qui donnerait une information plus utile/précise, pour affiner les développements plus vite ?

Réponses

  • JLapin
    JLapin
    Modifié (July 2024)
    Pour ma part, je procède essentiellement comme tu le proposes et l'équation (E) me semble optimale, même si je préfère l'écrire
    $$x_n = n-\ln x_n$$ et éviter l'introduction de suites auxiliaires : je remplace $x_n$ dans le membre de droite par son développement pour obtenir une amélioration, et ainsi de suite.
  • Homo Topi
    Homo Topi
    Oui, pour la rédaction, je fais comme toi dans mes papiers à moi, mais là pour suivre un peu la correction (puisque je donnais le lien de l'exercice) j'ai fait comme eux.
    Quand tu dis que l'équation $(E)$ te semble optimale, qu'est-ce qui te fait dire ça ? Comment tu "vois" ça ?
  • JLapin
    JLapin
    Dans la somme $x_n+\ln x_n$, $x_n$ est prépondérant devant $\ln x_n$, donc équivalent à $n$.
    Ensuite, la relation $x_n = n-\ln x_n$ donne $x_n = n$ si on néglige le terme $\ln x_n$ puis $x_n = n-\ln n$ si on remplace $x_n$ par $n$ puis etc.
    Après, il ne reste plus qu'à formaliser avec des petits o.
    Dans presque toutes les équations implicites, il y a la possibilité d'isoler une sorte de "terme prépondérant", comme ici.
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