Difficultés à savoir quand définir le milieu

Foys · 16 Jul

Soit $K$ un corps et $E$ un epace affine sur $K$.

-Si $K$ et de caractéristque $2$ toutes les translations de $E$ sont involutives (une fonction $\tau$ de $E$ dans lui-même est dite involutive si $\tau \circ \tau$ est l'identité).

-Si $K$ n'est pas de caratéristique $2$ (ce qui concerne toutes les situations géométriques envisgeables au lycée; c'est le cas envisagé dans le reste de ce message), aucune translation autre que l'identité n'est involutive.

Soient $x,y\in E$. Il existe une unique translation $\sigma$ telle que $\sigma \circ \sigma (x) = y$. On a alors forcément $\sigma(x) = \frac 1 2 (x + y)$

On appelle milieu de $[x,y]$ ce point $ \frac 1 2 (x + y) = \sigma(x)$.

Dom · 16 Jul

Je crois que le problème est que n’importe quel double vaut zéro et donc qu’on ne peut pas parler de moitié.

Autre sujet : on dit qu’il n’y a pas besoin de métrique ni de topologie pour parler de milieu dans un espace vectoriel.

« $M$ est le milieu de $[AB]$ — le bipoint $(A;B)$ » signifie « $\vec{AM}=\vec{MB}$ ».

Une question : le segment $[AB]$ se définit comment ? Juste un truc comme $\{S ; t\vec{AS}+(1-t)\vec{SB}=\vec{0}, 0\leq t\}$ ?

Mais dans cet espace vectoriel $Z$/$2Z$, c’est donc seulement $\{A;B\}$ ? Car mon $t$ n’a pas grand sens j’imagine.

stfj · 16 Jul

@gai requin : il n'y a pas de "triangle" non plus au sens classique du mot en tout cas. Pour le milieu, c'est la raison pour laquelle j'ai mis "milieu" entre "guillemets".

Soit $A,B$ et $C$ trois points non alignés d'un espace affine réel. Ils définissent un plan affine $\mathcal P=ABC$ qu'on plonge dans son enveloppe vectorielle $\widehat{\mathcal P}$. L'espace projectif $\mathrm P(\widehat{\mathcal P})$ ne possède effectivement pas de points privilégiés qu'on pourrait nommer "points à l'infini". On choisit arbitrairement un plan vectoriel de $V=\widehat{\mathcal P}$ autrement dit une forme linéaire $\tau$ sur $V=\widehat{\mathcal P}$ qui va permettre de définir ces fameux points à l'infini qui font tout le sel de la géométrie projective et pour lesquels elle a été construite. On obtient ainsi un couple $$(V,\tau)$$de la catégorie Véto.

Choisissons comme base de $\widehat{\mathcal P}$, la base $(A,B,C)$ et le plan parallèle au plan affine $ABC$ de $\widehat{\mathcal P}$, ie la forme linéaire non nulle $$\tau:\widehat{\mathcal P}\to \mathbb R$$$$(x,y,z)\mapsto x+y+z$$Puisque tu le dis, on ne peut définir de milieu dans le plan projectif. Par contre, le point de $\widehat{\mathcal P}$ $$g=A+B+C$$est défini.

Les points $\mathbb R A\text{(etc.)},\mathbb Rg$ de $\mathrm P(\widehat{\mathcal P})$ aussi. Et constituent un repère projectif de $\mathrm P(\widehat{\mathcal P})$ de centre $\mathbb g$ suffisamment classique pour avoir été enseigné à @pappus en CPGE. Dans ce repère projectif, les coordonnées projectives d'un points sont $$x:y:z$$

Et tout marche à merveille, cela fournit une "géométrie miraculeuse" comme diraient certaines.

Soit alors $$m\simeq x_m:y_m:z_m$$et $$n\simeq x_n:y_n:z_n$$Si $\sum x_m\neq 0$ et $\sum x_m\neq 0$, les points $\frac{1}{\sum x_m}(x_m,y_m,z_m)$ et $\frac{1}{\sum x_n}(x_n,y_n,z_n)$ appartiennent à $ABC$ et leur milieu est défini dans $ABC$.

Foys · 16 Jul

@Dom soit $K$ un corps, $E$ un espace affine sur $K$ (si on ne sait pas ce que c'est, on peut remplacer par espace vectoriel). On suppose qu'il y a au moins un segment non trivial (i.e. non réduit à un point) dans $E$ qui possède un milieu. Montrer que $K$ n'est pas de caractéristique 2

Moralité: la caractéistique 2 est pathologique!!! Regarder aussi ce que devient l'étude des formes quadratiques.

GG · 17 Jul

Le plan euclidien est d'abord un espace métrique, tout comme le plan hyperbolique et le plan elliptique. Dans la géométrie neutre, à savoir la géométrie euclidienne privée du postulat d'Euclide, pas d'affine, pas de vectoriel. Mais les axes sont toujours en bijection avec $\R$, bijections qui sont des isomorphismes pour la distance. Le milieu d'un segment, point sur un axe passant par ses extrémités dont l'abscisse est la moyenne de celles des extrémités, et qui est indépendant de l'origine et de l'orientation de l'axe, est bien présent dans le plan euclidien et l'hyperbolique, tout comme la médiatrice du segment, perpendiculaire élevée depuis son milieu.

Introduire le plan euclidien par $\R^2$, c'est priver les élèves de l'occasion unique de commencer à s'intéresser à l'histoire passionnante des mathématiques et leur refuser d'éprouver le sentiment de mystère qu'ont certainement dû ressentir tous les mathématiciens qui ont cherché vainement pendant deux mille ans à démontrer le postulat d'Euclide. C'est dire que c'est anti-pédagogique par excellence.

Dom · 17 Jul

Oui, bon… les grands mathématiciens, à 12 ans… peut-être faut-il ne pas pousser.

Math Coss · 17 Jul

GG a dit :

Mais les axes sont toujours en bijection avec $\R$, bijections qui sont des isomorphismes pour la distance.

Ben non, dans un changement de repère sur une droite, la distance est en général multipliée par un facteur différent de $1$ (ce qui ne change pas le milieu pour autant).

GG a dit :

Introduire le plan euclidien par $\R^2$, c'est priver les élèves de l'occasion unique de commencer à s'intéresser à l'histoire passionnante des mathématiques et leur refuser d'éprouver le sentiment de mystère qu'ont certainement dû ressentir tous les mathématiciens qui ont cherché vainement pendant deux mille ans à démontrer le postulat d'Euclide. C'est dire que c'est anti-pédagogique par excellence.

Boarf. Les pionniers des géométries non euclidiennes étaient certainement bien contents d'avoir des modèles euclidiens sous la main...

gerard0 · 17 Jul

Dom, une partie de ma vocation mathématique vient du cinquième postulat, vu à 12 ans, et de l'existence de problèmes non résolus (théorème de Fermat) entendue à 11 ans. Pas besoin d'être "grand mathématicien" pour avoir envie de démontrer (comme ce fut le cas pour mon voisin de table et moi).

Math Coss ("Les pionniers des géométries non euclidiennes étaient certainement bien contents d'avoir des modèles euclidiens sous la main...") tu confonds "modèle euclidien" avec $"\mathbb R^2"$. Bien sûr que Gauss, Lobachevsky et Bolyai ont utilisé des modèles euclidiens, mais de géométrie synthétique essentiellement. Et l'usage de modèle euclidien pour justifier l'indépendance du cinquième postulat vient bien plus tard ... Puis encore plus tard, la construction des espaces affines à partir d'espaces vectoriels.

En fait GG a raison : la désaffection pour la géométrie est en grande partie due à l'abandon de la géométrie synthétique, malgré une tentative d'y revenir vers 1983. Trop tard, les jeunes profs n'y étaient pas formés, on l'a mise de côté.

Cordialement.

Dom · 17 Jul

Je suis d’accord pour dire qu’une poignée d’élèves de 6e ont cette fibre, l’envie de chercher, de creuser etc. Mais en 2024, si cette poignée existe encore, il me semble qu’un prof enseigne à tout le monde et notamment à la majorité non matheuse qui souhaite aussi s’y retrouver dans cette matière.

Le thème même de ce fil est de mon point de vue centré sur le prof et sa propre (rétro)projection de quand lui était élève et non sur la classe extrêmement diverse dans sa composition.

L’écueil le plus éloquent est cette trace écrite qui ne définit rien (pourquoi pas ! c’est dans la liberté pédagogique) et qui n’explicite rien (le troisième tiret est abscons).

GG · 17 Jul

@Math Coss,

J'admets les axiomes suivants de la géométrie neutre (ou absolue comme l'appelait Bolyai), valables donc aussi bien pour la géométrie euclidienne que pour l'hyperbolique :

axiomes de la distance : le plan $\Pi$ est muni d'une application $d$ de $\Pi \times \Pi$ dans $\R_+$ vérifiant pour tous points $A$, $B$, $C$

$d(A, B ) = 0 \Leftrightarrow A = B$

$d(A, B ) = d(B, A)$

$d(A, C) \leqslant d(A, B ) + d(B, C)$

axiome du plus court chemin :

$d(A, C) = d(A, B ) + d(B, C) \Leftrightarrow B \in [AC]$

axiome du report de distance :

l'application d'une demi-droite d'origine $O$ dans $\R_+$ $P \mapsto d(O, P)$ est surjective.

On vérifie que c'est une bijection.

Étant donné un axe d'origine $O$ (une droite orientée, c'est-à-dire une droite munie de l'un de ses deux ordre totaux opposés, munie d'une origine), on appelle abscisse sur cet axe l'application $x$ de cet axe sur $\R$ définie par $x_P = d(O, P)$ si $P \geqslant O$ et $x_P = -d(O, P)$ si $P < O$.

C'est une bijection et l'on vérifie que $d(A, B ) = \mid x_A - x_B \mid $ pour tous point $A$ et $B$ de l'axe, autrement dit, c'est bien l'isomorphisme pour la distance dont j'ai parlé.

Math Coss · 17 Jul

Je ne doute pas que ce soit possible ou même pertinent dans certains contextes, je dis juste que ça ne me semble pas la bonne façon de présenter les choses au collège ou au lycée, ce qui semblait être le point de départ du fil – a posteriori, ce n'est plus si clair.

Dans mon message précédent, je n'ai pas confondu quoi que ce soit. J'ai prétendu que la géométrie hyperbolique n'aurait pas émergé si ses fondateurs n'avaient pas été des experts de géométrie euclidienne. Cependant, coordonnées ou synthétique, je ne crois pas que ce soit le point l'essentiel.

Je ne suis pas un zélote des calculs en coordonnées, même si quand j'interviens en géométrie sur le forum c'est en général pour présenter une solution calculatoire. Dans le cas très précis de l'introduction du produit scalaire dans la géométrie plane (donc auprès de géomètres non expertes, loin s'en faut), je suis convaincu que le passage par son expression en coordonnées est défendable et qu'a contrario, vouloir faire de la géométrie sans distance est, en première instance, une erreur (je suis partisan d'un effeuillage : « tiens, finalement cette propriété ne nécessitait pas un plan euclidien »).

pldx1 · 18 Jul

Comment partager une gateau au chocolat en 3 ? On coupe en deux (par un plan perpendiculaire). Puis encore en deux (cela fait quatre morceaux). Et je donne un morceau à chacun, plus un au coupeur, en remerciement de sa participation.

Comment partager un plat d'épinards en trois ? On coupe en deux, puis encore en deux, puis encore en deux (cela fait huit parts). Et je donne trois portions à chacun, sauf au coupeur, qui n'en reçoit que deux, en remerciement de sa participation.

Question pour les élèves: que concluez-vous sur l'auteur de cet algorithme ?

PetitLutinMalicieux · 18 Jul

Il ne vote pas pour le parti animaliste.

Vassillia · 18 Jul

Il est malin, la stratégie pour convaincre l'enfant du groupe de devenir coupeur est parfaite.

Dom · 18 Jul

Merci pour cette intervention lumineuse et pertinente. Vraiment on avait besoin de ça.

stfj · 23 Jul

@gai requin : dans un espace projectif , il n'y a pas de milieu

Bonjour,

Ai-je répondu plus haut (haut de la page 2 après des interventions de Foys et Dom) convenablement à ta remarque ? Cela m'intéresserait de le savoir.

stfj · 25 Jul

Je me demande si tous les responsables des programmes de mathématiques et ceux dont on demande les conseils (pédagogues ou autres) sont conscients de la définition en co-bars et co-incls du MILIEU :

def norm(P):
return P/(Linf*P)

def milieu(P1,P2):
return norm(P1)+norm(P2)

#version coordonnées barycentriques

Linf=vector([1,1,1])

#version coordonnées inclusives(Morley)
Linf=vector([0,1,0])

J'ai l'impression que la propédeutique française (et encore moins la phase Terminale) permettent de moins en moins depuis des décennies d'espérer de telles connaissances en dehors du cercle très fermé des mathématiciens professionnels ou des amateurs éclairés.

Soc · 25 Jul

J'ai déjà du mal avec l'écriture inclusive...

Dom · 25 Jul

Rouvrir un jeudi, c’est un peu tôt non ? Provoquer ainsi « être conscient de la définition en co-bars et co-incls du MILIEU ». T’es-tu déjà demandé si ce n’était pas que dans TA tête ?

Vassillia · 25 Jul

@Soc C'est fait exprès. Pour moi, le meilleur argument pour cette dénomination est le point numéro 1 https://les-mathematiques.net/vanilla/discussion/comment/2482591/#Comment_2482591

Quand, je vous disais qu'il est malin pour convaincre autrui.

lourrran · 25 Jul

Stfj a effectivement réussi à me convaincre d'un truc, mais j'ai bien peur que ce n'était pas volontaire et qu'il aurait même préféré me convaincre du contraire.

Vassillia · 25 Jul

Précédemment, je ne parlais pas du pouvoir de conviction de stfj dans ce fil de discussion et le lien ne pointe pas non plus vers un message de stfj

Dom · 25 Jul

Ce jeu est amusant. On ne sait plus qui parle de qui ni de quoi. Merci.

Vassillia · 25 Jul

Bon, bon, bon, j'explique vu que c'est moins compréhensible que je le croyais.

Précédemment j'avais dit que l'auteur de l'algorithme du partage du gâteau et plat d'épinard (à savoir pldx1) était malin pour convaincre un enfant de devenir coupeur.

Par la suite, stfj a continué son propre fil ayant pour sujet la définition du milieu par ... une définition du milieu ce qui n'est pas complétement hors sujet tout de même. Il me semble qu'il a le droit de le faire que cela vous plaise ou pas, il y en a bien d'autres en géométrie qui monologuent et à qui on ne reproche rien.

Enfin, Soc a fait une remarque plutôt sympathique sur le choix de l'expression "coordonnées inclusives" qui lui rappelle l'expression "écriture inclusive". Donc je lui donné le lien où pldx1 explique que le choix de cette expression est fait, entre autre, pour "ne pas rater une occasion de faire enrager les vieux salafs".

Cet argument ne pouvant que me convaincre, si on cerne un peu ma personnalité, j'ai ironisé sur le fait que je l'avais dit précédemment qu'il était convaincant (le "il" en question étant pldx1)

Mais oui, moi, je m'amuse bien, si tu ne t'amuses pas Dom, tu n'es pas obligé de participer au fil de stfj.

lourrran · 25 Jul

Pas de problème. Si besoin, je suis dispo pour remettre une petite pièce dans le bouzin pour relancer le troll.

cailloux · 25 Jul

Pas de précipitation lourran : attendons sagement la troisième page de ce fil passionnant pour savoir enfin ce qu'est le milieu d'un segment.

Vassillia · 25 Jul

Je pense que stfj aime ce qu'il est en train de découvrir et qu'il a envie de bien faire ce qui le rend exagérément enthousiaste. Comme en plus, il a tendance à être bavard (et je ne lui reprocherai pas, moi aussi)...

En tout cas, il fait partie des nouveaux arrivants qui s'intéressent à la géométrie, cela mérite d'être encouragé.

Bref à bientôt stfj, ne te décourage, c'est la norme sur ce forum de ronchonner mais on n'est pas obligé de se laisser affecter.

stfj · 27 Jul

@Kraw : bonjour,

Dans un espace affine $\mathcal E$ sur un corps commutatif $K$ de caractéristique différente de $2$, le milieu $M$ de $(A,B)\in \mathcal E\times \mathcal E$ est défini comme $$2^{-1}(A+B)$$où la somme des deux points $A$ et $B$ et la multiplication par un scalaire sont définis dans l'enveloppe vectorielle $\widehat{\mathcal E}$ de $\mathcal E$. Pour la définition des différents concepts, je te renvoie par exemple à Géométrie pour l'élève professeur, Hermann(collection enseignement des sciences), 1973, de Jean Frenkel.

Le problème de l'espace affine $\Z/2\times \Z/2$ sur le corps $\Z/2$ est que ce corps est justement de caractéristique $2$, ie $$2.\bar1=\bar0$$et qu'on n'y définit donc pas de milieu.

On a bien un ensemble de points $\mathcal P\doteq \Z/2\times \Z/2$ et un ensemble $\mathcal D$ de droites qui sont les droites affines de l'espace vectoriel $\Z/2\times \Z/2$ sur le corps $\Z/2$[au sens que Jean Dieudonné donne de "droite affine" dans un espace vectoriel dans Algèbre linéaire et géométrie élémentaire, Hermann 1964, et qu'on leur donne plus largement dans l'espace affine associé à un espace vectoriel]

On a donc un couple $$(\mathcal P, \mathcal D)$$ qui est ce qu'on appelle$^1$ "un plan" puisqu'il vérifie les trois axiomes :

- Une droite est une partie propre du plan;

- par deux points $A$ et $B$, il passe une droite et une seule qu'on note classiquement depuis les années 60 $(AB)$;

- par une droite et par un point, il passe une unique droite parallèle(axiome d'Euclide).

Mais c'est un plan où la notion de milieu n'est pas définie. Quand dans mon post original, je parlais de la merveilleuse intelligence des enfants, je pointais du doigt qu'un élève de 11 ans subissant les trois axiomes précédant (c'était la norme à la fin des années 70 et au début des années 80) peut donc être gêné si on lui balance la notion de milieu arbitrairement. Ce fut mon cas il y a de cela 40 ans et ce n'est donc pas exagéré que de l'affirmer.

C'est un aspect de la Mathématique moderne en quelque sorte complémentaire de ses tendances unificatrices, à savoir sa capacité à dissocier ce qui était indûment confondu. Je pense surtout ici à la distinction (clairement sentie depuis Poncelet) entre propriétés géométriques de nature "affine" et propriétés de nature "métrique". Il est particulièrement choquant, du point de vue logique, de voir mélanger en une incroyable salade ces deux types de propriétés dès le début de la traditionnelle "Géométrie euclidienne", mettant exactement sur le même plan des notions aussi différentes que celle de parallèle et celle de perpendiculaire, pour ne citer qu'un exemple typique.

Peut-être cette insistance sur la "pureté" des raisonnements paraîtra-t-elle superflue et pédantesque à certains. Encore faut-il savoir de quoi on parle, n'est-ce pas ?

Je ne sais pas quel est ton âge, mais en matière d'Education Nationale, les programmes ont tellement été tordus dans tous les sens par des décisions plus ou moins ubuesques du ministère, relayées par des fonctionnaires dociles et peu scrupuleux, que nous avançons sur des oeufs plus ou moins moisis, même avec des notions aussi élémentaires que celle de milieu $m$ de $ab$ qui mathématiquement se résume à $$m\doteq \frac12(a+b)\label{a}.\tag1 $$définie ainsi rapidement par Jean Dieudonné (3.3.4, ibid.), sa première utilisation étant pour signaler après l'avoir démontré que l'image du milieu d'un segment par une application affine est le milieu du segment image (3.3.4.2)

Cordialement.

__________________________________

$^1.- $ Queysanne-Revuz et Cie, Mathématique 4, Nathan, 1971, p. 226

Monge et Cie, Belin 1974, p. 196

Cécile Gachet, Un théorème démontré en utilisant sa fenêtre, début de la vidéo, 2017.

Le cadre de "l'espace affine scolaire, objet à l'épistémologie molle" toujours en place depuis le début des années 70.

$^2.- $ J'espère que nous pourrons nous entendre sur cette définition $\eqref{a}$ fournie par l'un des plus grands topologues du 20è siècle, dixit Roger Godement; pour savoir enfin ce qu'est le milieu d'un segment(sinon, je renonce; au passage je l'avais déjà fournie dans le post original.)

gerard0 · 27 Jul

Bonjour.

"C'est un aspect de la Mathématique moderne en quelque sorte complémentaire de ses tendances unificatrices, à savoir sa capacité à dissocier ce qui était indûment confondu. Je pense surtout ici à la distinction (clairement sentie depuis Poncelet) entre propriétés géométriques de nature "affine" et propriétés de nature "métrique"."

C'est d'ailleurs l'insistance de certains puristes (géomètres du supérieurs + inspecteurs devenus des fanatiques des précédents) qui a amené à la création de ce programme de quatrième purement affine, à la fin de la commission de mise en application et au rejet massif de tous ces nouveaux programmes.

stfj · 27 Jul

Ces "nouveaux programmes" sont en quelque sorte toujours en vigueur. Pour définir les objets de la géométrie tels que droites et points, on énonce toujours (de façon plus ou moins explicite, de moins en moins explicite les décennies passant depuis 1970) une liste d'axiomes, d'incidence principalement, comme "par deux points passe une droite et une seule". C'est la voie d'Euclide (et plus récemment de Hilbert). Même si la démarche et a fortiori les axiomes eux-mêmes n'y sont pas explicités, c'est cette méthode qui est utilisée actuellement dans l'enseignement secondaire français.

Je ne comprends pas pourquoi tu parles de "rejet massif de tous ces nouveaux programmes", @gerard0, puisque même très édulcorés, je répète haut et fort qu'ils sont toujours en vigueur.

Il est vrai, quand on lit ici ce qu'on peut objectivement qualifier de désorientation même chez un ministre de l'Education Nationale française se piquant d'un sujet qu'il ne connaît visiblement pas du tout, relayée par des inspecteurs de mathématiques de 2017, qu'on peut comprendre la confusion qui existe aujourd'hui sur la teneur des programmes français de mathématiques.

Dom · 27 Jul

Je ne sais pas si on peut vraiment annoncer que cette axiomatique « est utilisée ». Ce doit être epsilonesque d’une part, et ces élèves-là s’ils existent ne font que réciter, d’autre part.

gerard0 · 27 Jul

Ben non !

Les programmes "maths modernes" ont été officiellement abandonnées vers 76, n'ayant d'ailleurs quasiment pas été vraiment adoptés. On a fabriqué ensuite des programmes un peu intermédiaires avec ceux de 1950, puis finalement diminué de plus en plus la part de la géométrie.

Donc tu racontes n'importe quoi, ce qui est normal pour quelqu'un qui ne lit chez les autres que ce qui confirme ses convictions. Que tu peux répéter "haut et fort" sans les rendre meilleures.

stfj · 27 Jul

J'ai sous les yeux le programme de mathématiques avec lequel j'ai débuté ma carrière en 1994(arrêté du 14 novembre 1985). Un programme de ministère n'a pas la prétention de définir des notions mathématiques (heureusement !) D'où vient ton "on a fabriqué ensuite des programmes un peu intermédiaires avec ceux de 1950" ? Que désigne "on" ? S'agit-il d'une autorité supérieure à celle des enseignants du supérieur qui m'ont enseigné le b.a-ba de l'Algèbre linéaire, où l'on définit le milieu $m$ de $ab$ comme$$\frac12(a+b)$$(un point c'est tout)? Il est difficile de discuter sur des affirmations non sourcées.

Le programme de 1985 ne demandait pas de définir à proprement parler le milieu d'un segment en classe de 6è. Il s'agissait simplement d'utiliser correctement, dans une situation donnée, le vocabulaire : "milieu". Je pense effectivement qu'il s'agit d'une position raisonnable, à laquelle on peut adhérer, même pour un enseignant comme moi qui ne connaît des programmes de 1950 que ceux très exigeants, d'une exigence un peu folle mais intéressante, que je peux lire dans un Brachet-Dumarqué de 1936.

Je prendrai volontiers modèle sur cette vidéo de la khan academy où l'enseignant parle parfois du point partageant un segment en deux segments égaux en joignant le geste à la parole.

jelobreuil · 27 Jul

Stéphane, je crains que ton souci de logique t'emporte ... Pourquoi t'évertues-tu à refuser les apparences ? Parce qu'elles ne sont que cela ? Mais elles sont pourtant là, et bien là !

Tu as écrit plus haut que les notions de droites parallèles et de droites perpendiculaires, plus exactement de parallélisme et de perpendicularité, sont de nature différente, mais je ne vois pas en quoi, et ce, d'autant moins que "deux droites perpendiculaires à une même troisième sont parallèles entre elles" ... Comment expliques-tu que des droites puissent être qualifiées dans une même phrase de "perpendiculaires" et de "parallèles" ? Par abus de langage ? Je serais curieux de savoir comment tu présentes ce théorème, l'un des tout premiers de la géométrie euclidienne de base, à tes élèves de sixième ...

Gérard, pour quelle raison, selon toi, a-t-on peu à peu réduit la géométrie à la portion congrue dans les programmes ?

Bien amicalement, Jean-Louis B.

stfj · 27 Jul

@jelobreuil : pour le théorème de Pappus, nul besoin des perpendiculaires, pour le théorème de Ceva, pas plus; pour le théorème de Ménélaüs, pas davantage; pour les aires algébriques pas plus; pour le théorème de Thalès, pas plus; pour les barycentres, aucun besoin des perpendiculaires; pour le théorème de Desargues, pas besoin de perpendiculaires.

Amicalement, Stéphane.

Vassillia · 27 Jul

@stfj Désolée mais je ne suis pas d'accord, moi aussi je mets sur le même plan les propriétés de nature affine et de nature métrique ou plus précisément, je me fiche complétement que ce soit affine ou métrique.

Le but des mathématiques ne me semble pas être de se gargariser de grand nom, peu m'importe ce que disait Dieudonné et tes autres auteurs préférés. Je sais que l'image mentale d'un milieu est initialement métrique. On a besoin, dans les petites classes de primaire et de collège, de voir un milieu comme égalité des distances pour travailler et même après cette image peut rester.

Image: https://les-mathematiques.net/vanilla/uploads/editor/18/nj8tp61eazm2.gif

Alors certes comme $\mathcal L_{\infty}=[0,1,-2]$ on a, en se plaçant dans la carte affine qui va bien :

$A=(0:0:-1/2) \simeq (0:0:1)$

$B=(-2: -1 :-1) \simeq (2:1:1)$

$I=(A+B)/2=(-1:-1/2:-3/4) \simeq (4/3:2/3:1)$

Mais est-ce que tu trouves que définir le milieu par $(A+B)/2$ est éclairant ? Bof quand même, c'est bien pour le calcul, indiscutablement, et il faut le présenter, mais ce n'est pas du tout l'image mentale qu'on en a (en tout cas que j'en ai). Pour moi, c'est du Thales avec $(II')$ parallèle à $(BB')$ et sur l'axe des abscisses, je peux voir les "vrais rapports de distances" et je continue à les voir comme des "distances" comme depuis toute petite.

Dom · 27 Jul

Pardon mais tu viens de répondre complètement à côté à Jelobreuil.

Aussi, tu parles de $0,5(a+b)$ comme définition géniale du milieu enseigné dans le supérieur alors qu’au départ on était en 6e.

Que se passe-t-il ?

stfj · 27 Jul

Ne nous énervons pas. Dans un premier temps, en relisant le fil, j'ai souhaité répondre au message de @Kraw. Est-on d'accord là-dessus ?

___________________

Don't feed the stfj.

stfj · 27 Jul

Kraw a dit :

stfj a dit :

Dans $\mathbb Z/2\mathbb Z\times \mathbb Z/2\mathbb Z$, il n'y a pas de milieu d'un segment $[AB]=\{A,B\}$.
Alors, je viens faire le chieur, mais pour quelle topologie ? quelle métrique ?

Cette phrase est peut-être vrai, mais me fait réellement tiquer.

Pourquoi $\mathbb Z/2\mathbb Z\times \mathbb Z/2\mathbb Z$ ne serait pas métrisable ?

Je rappelle ce message.

jelobreuil · 27 Jul

J'en suis bien d''accord, Stéphane, mais cela ne m'explique pas pourquoi perpendicularité et parallélisme seraient des relations de nature différente ... En fait, quand on y réfléchit un peu, en géométrie traditionnelle, le parallélisme découle d'un postulat, et la perpendicularité, d'un théorème. Bon, mais cela n'empêche pas qu'on se serve de l'une et de l'autre, au gré des besoins, non ?

Je ne comprends pas cet acharnement à séparer géométrie "affine" et "géométrie ... (quel qualificatif déjà ?)" ! Comme si c'étaient deux sciences différentes alors que ce ne sont que deux visions différentes de la même science ... Qu'elles ne fassent pas appel aux mêmes raisonnements n'autorise pas à dire que l'une est plus légitime que l'autre !

Quant au fait que l'une serait mieux fondée que l'autre du point de vue logique, ai-je le droit de dire que je m'en moque un peu, à mon niveau de béotien ? Et que je fais très peu de cas de l'algèbre linéaire, dusse Dieudonné s'en retourner dans sa tombe ?

Bien amicalement, Jean-Louis B.

Vassillia · 27 Jul

En fait @jelobreuil il y a bien une différence de "nature"

Par exemple, quand on fait du calcul barycentriques, si $a=Distance(B,C)$, $b=Distance(C,A)$ et $c=Distance(A,B)$ apparaissent, on est en géométrie utilisant une métrique disons euclidienne et si cela n'apparait pas, on est en géométrie affine. Pour les perpendiculaires (comme pour utiliser n'importe quel autre angle), les cercles, les distances, il faut une métrique (ou si tu préfères choisir la manière dont on définit le produit scalaire). Pour les parallèles, les barycentres (dont le milieu), les vecteurs, on n'en a pas besoin.

Mais la question reste : est-ce qu'on a quelque chose à faire de cette différence ? Ma réponse du moins pour le collège et le lycée est non.

stfj · 27 Jul

@jelobreuil :

Pendant ma formation universitaire : on nous a appris dès la première année d'enseignement supérieur rapidement les structures de groupes-anneaux-corps, puis la structure d'espace vectoriel sur un corps commutatif quelconque. Pour faire de la géométrie, on se restreint vite à $\mathbb R^3$ ou même à $\mathbb R^2$, où on a donné du sens aux notions de droites vectorielles (passant par $0$) et de droites affines. Le parallélisme de deux variétés linéaires est défini par le fait que ces deux variétés ont des directions égales. On peut alors démontrer et utiliser Ceva, Ménélaüs, Desargues, Pascal,...

Si maintenant on définit une forme bilinéaire définie positive $\langle.,.\rangle$ sur un espace vectoriel $E$, on appelle le couple $(E,\langle.,.\rangle)$ un espace euclidien. Et on peut faire des choses en plus. Définir la perpendicularité par exemple.

Tout cela n'est pas bien difficile et Dieudonné a proposé un livre du maître destiné aux enseignants du secondaire pour l'enseigner dès la classe de seconde en se limitant aux espaces vectoriels réels de dimension 2 et 3.

Plus récemment, pour la formation des maîtres, Michèle Audin se place dans le même cadre, ne consacrant à la voie d'Euclide qu'une page sur 400 de son ouvrage. Et encore ! Elle se soucie surtout dans cette page de démontrer que la relation "... est parallèle à..." est une relation d'équivalence sur l'ensemble des droites, se rattachant vite à une tradition de la géométrie "française" telle que celle forgée par Frenkel, Berger et tant d'autres.

Voilà de quelle tradition les enseignants actuels sont issus.

Je sais qu'en faculté, la géométrie est un peu plus étendue, où l'on définit par exemple la notion de division harmonique de quatre points alignés mais étant passé au début des années 1990 par les CPGE, j'ai dû me former seul grâce à Algèbre et géométrie de Liret-Martinet mais l'esprit est le même (compléments d'algèbre linéaire, dualité, diagonalisation, théorème de Cayley-Hamilton, espaces euclidiens, espaces affines euclidiens, géométrie plane, formes quadratiques, coniques.) Michel Zisman qui préface ces ouvrages assurait la continuité.

Amicalement, Stéphane.

Vassillia · 27 Jul

Et depuis quand il faut respecter la traduction ? Surtout celle qui a fait que déjà à mon époque, il n'y avait plus vraiment de géométrie donc ni géométrie euclidienne ni géométrie affine dans le supérieur, au moins comme ça il n'y a pas de jaloux

gerard0 · 27 Jul

@Jélobreuil :

"Gérard, pour quelle raison, selon toi, a-t-on peu à peu réduit la géométrie à la portion congrue dans les programmes ?"

J'ai l'impression que c'est la combinaison de plusieurs faits et processus :

* Avec la mise en place des nouveaux programmes de secondaire en 1966 (en seconde), on a fait disparaître des programmes de lycée la géométrie synthétique au profit d'une présentation restreinte de l'algèbre linéaire (espaces vectoriels réels $\mathbb R^n$) puis de l'utilisation de cette présentation pour faire de la géométrie "linéaire" (transformations réduites à leurs matrices, plus géométrie analytique). Par ricochet, plusieurs notions traditionnelles de fin de collège, comme la bonne connaissance des vecteurs et les puissances de points, voire même les mesures algébriques, sont devenues moins nécessaires, puis considérées comme obsolètes.

* La réforme Haby (1974) a remplacé les classes par filières par des classes hétérogènes, où l'enseignement de la démonstration est devenu très difficile (déjà, dans les classes de "Type I", la classe de quatrième faisait de la moitié des élèves des "faibles en maths"). Il existait encore d'excellentes classes de collèges (souvent les latinistes et ou germanistes), mais dans l'ensemble "ça ne passait plus".

* L'échec patent de la réforme "maths modernes" a détruit l'idée que les bons élèves étaient les bons en maths (très nombreuses interventions médiatiques et politiques contre "la dictature des maths".

* Le retour à la géométrie synthétique dans les années 80 a posé de nombreux problèmes aux jeunes profs, formés essentiellement à l'algèbre linéaire.

* Les nombreuses réformes du bac pour diminuer l'importance des maths et même des sciences dans le bac (*) ont eu pour effet de transformer les filières S en classes de bons élèves, souvent peu scientifiques. D'où la diminution possible des programmes de collège.

* L'introduction de nouvelles notions (programmation, statistiques et/ou probas,..) a nécessité de supprimer des pans de programmes.

Et la partie des programmes dont on ne voyait pas trop l'utilité dans la vie ultérieure des lycéens et étudiants scientifiques (**) était la géométrie non calculatoire.

Cordialement.

NB : Cette analyse se base sur mon vécu de prof en lycée et collège entre 1973 et 1995, et les discussions avec mes anciens collègues de 1995 à 2015.

(*) avec la réforme Bayrou, les disciplines non scientifiques ont eu un plus gros barème au bac C que math-physique-biologie !

(**) alors que pour les études techniques industrielles elle est très importante ... mais qui connaît ces sections à l'inspection générale ?

stfj · 27 Jul

@Vassillia : "est-ce qu'on a quelque chose à faire de cette différence ? Ma réponse du moins pour le collège et le lycée est non."

Je suis d'accord avec cela. Le but indiqué dans la colonne "Compétences exigibles des élèves" du programme de 1985 est que les élèves de 6è utilisent correctement, dans une situation donnée, le vocabulaire : droite, cercle, disque, angle, droites perpendiculaires, droites parallèles, demi-droites, segment, milieu.

Le problème des matheux est de ne pas comprendre qu'ils parlent de la même chose quand ils sortent d'un discours axiomatique bien rôdé.

Reste ton dernier exemple qui a l'air bien sympa et que j'ai envie d'étudier dans le détail. Comme c'est des maths, on devrait se comprendre cette fois-là.

stfj · 27 Jul

@gerard0 : j'ai l'impression qu'on va finir par se mettre tous d'accord. Mon voisin qui enseignait le bois au lycée du bois à Paris, m'expliquait à quel point les lacunes de ses élèves en géométrie élémentaire, les pénalisait. Lors d'un stage en plomberie, on expliquait à des collégiens l'importance des cylindres en plomberie...

stfj · 27 Jul

Vassillia a dit :

$\mathcal L_{\infty}=[0,1,-2]$ on a, en se plaçant dans la carte affine qui va bien :
$A=(0:0:-1/2) \simeq (0:0:1)$
$B=(-2: -1 :-1) \simeq (2:1:1)$
$I=(A+B)/2=(-1:-1/2:-3/4) \simeq (4/3:2/3:1)$
Mais est-ce que tu trouves que définir le milieu par $(A+B)/2$ est éclairant ? Bof quand même, c'est bien pour le calcul, indiscutablement, et il faut le présenter, mais ce n'est pas du tout l'image mentale qu'on en a (en tout cas que j'en ai). Pour moi, c'est du Thales avec $(II')$ parallèle à $(BB')$ et sur l'axe des abscisses, je peux voir les "vrais rapports de distances" et je continue à les voir comme des "distances" comme depuis toute petite.

Partons, si tu veux bien, du commencement. Tu te places dans le plan projectif associé à l'espace vectoriel réel $\mathbb R^3$ où tu choisis arbitrairement le plan $$y-2z=0$$ pour définir ta droite à l'infini. C'est bien cela ?

Image: https://les-mathematiques.net/vanilla/uploads/editor/da/2pg5mokg62xb.png

Vassillia · 27 Jul

Non (enfin si un peu mais il ne faut pas le dire), je ne veux pas entendre parler de visualisation en dimension 3 pour comprendre un problème en dimension 2, c'est complètement contre-productif (même si ça ferait sûrement plaisir à Dieudonné et tes auteurs préférés).
Je pars de la droite d'équation $y-2=0$ car $\mathcal L_{\infty} \cdot (x : y : 1)=0$ donne cette équation.
C'est quelque chose que tu as déjà vu et revu et qui devrait passer à enseigner au collège, je pense que tu n'as pas besoin d'explication mais de revoir les discussions précédentes et comme je n'ai aucune intention de m'intéresser à ce que voulait Dieudonné et tes auteurs préférés

jelobreuil · 27 Jul

@Vassillia, @stfj, @gerard0

Bonsoir Vassillia, Stéphane, Gérard, et merci pour vos réponses détaillées et pertinentes !

Gérard, si j'en crois les manuels de mathématiques que mon frère cadet (de cinq ans) et moi avons utilisés (et dont j'ai récupéré l'ensemble, étant le seul intéressé), cette "révolution des programmes" a eu lieu entre mon passage en seconde-première-terminale C (de 1966 à 1969) et le sien (début des années 70). Et je dois bien reconnaître que quand j'ouvre l'un de ses manuels, je suis complètement largué, car les cours de maths que j'ai suivis ensuite en fac de sciences dans le cadre d'un DUES Physique-Chimie ne m'ont rien apporté qui puisse m'aider à assimiler ces notions et à apprendre à bien m'en servir !

Si je comprends bien, on a cru bon de bazarder cette vieillerie de géométrie qui n'était, pour son malheur, qu'euclidienne, c'est-à-dire immédiatement et concrètement visualisable au moyen de figures et de définitions proprement géométriques au sens littéral du terme, et d'enseigner la géométrie à partir de ce qu'il y a de plus abstrait possible, les ensembles et les espaces vectoriels et tutti quanti ... et pour quel résultat ???

Stéphane, je comprends qu'étant donné ton parcours universitaire, tu sois à l'aise avec toutes ces notions abstraites qui rattachent finalement la géométrie, science initialement très concrète (puisque liée au rétablissement du cadastre égyptien après chaque crue du Nil) au reste des mathématiques, nettement plus abstrait, même pour ce qui est des nombres (questions philosophiques : un nombre est-il concret ou abstrait ? un nombre réel, pi par exemple, est-il plus ou moins abstrait, ou concret, qu'un nombre entier ? ...). Mais, et là je rejoins Vassillia, je ne crois pas que ce soit bien utile de présenter ces notions à des élèves de collège, voire de lycée ... Mais savoir que "l'aire d'un cercle est donnée par la formule A = pi.R²", ça, il me semble que ça peut servir dans la vie de tous les jours ...

Vassillia, je t'avoue ne pas très bien comprendre le pourquoi du comment de cette différence entre géométries, selon que l'on ait besoin ou non d'une "métrique" ... et qu'est-ce qu'une métrique ? et comment s'en sert-on ? Quand j'essaie de résoudre un problème de géométrie, à la mode de Jean-Louis Ayme, je ne me pose pas la question de savoir quelle métrique j'utilise, si tant est que j'en utilise une, même sans le savoir ... Bon, tu me diras, cela limite énormément mes capacités de résolution de problèmes : j'en conviens bien volontiers, mais j'avoue (encore !) n'être pas motivé pour forcer ces limites ...

En toute amitié, Jean-Louis B.

stfj · 27 Jul

Dans la carte affine $$z=1$$ on a $$(0,0,1)\text{ est un représentant de }A\text{ et }(2,1,1)\text{ est un représentant de }B$$ donc sur $\{M:\mathcal L\cdot M=1\}$, où $\mathcal L$ est la forme linéaire $$\mathcal L:\mathbb R^3\to \mathbb R$$ $$(x,y,z)\mapsto y-2z$$ $$\frac{A}{\mathcal L\cdot A}=(0,0,-\frac12)\text{ est un représentant de }A$$et$$\frac{B}{\mathcal L\cdot B}=(-2,-1,-1)\text{ est un représentant de }B$$Dans la carte affine $\{M:\mathcal L\cdot M=1\}$, on peut parler du $\color{red}\text{milieu}$ de $(0,0,-\frac12)$ et de $(-2,-1,-1)$ qui est le point $(-1,-\frac12,-\frac34)$ dont le projeté sur $z=1$ parallèlement à $\begin{cases}x=0\\y=0\end{cases}$ est $$(\frac43,\frac23,1)$$

Difficultés à savoir quand définir le milieu

Réponses

Bonjour!

Catégories

In this Discussion