Famille presque orthogonale

@raoul.S
Oui je bloquais sur la 1 au départ mais elle est simple.

@john_john
Merci pour la référence, mais si je fais des exos de concours c'est pour faire des exercices non corrigés et réfléchir par moi-même. 
De plus, il a que les questions 1 et 2 qui ressemblent, les questions 3 et 4 n'ont rien à voir avec le sujets des Mines.

1) Supposons que $(u_1, \cdots, u_n)$ est $\mu$-presque orthogonale. 
Soit $(x_1, \cdots, x_n) \in \R^n$ tel que : $\displaystyle\sum_{i=1}^n x_i u_i =0$.
Alors : $||\displaystyle\sum_{i=1}^n x_i u_i   ||^2=0$.
Ainsi : $\dfrac{1}{\mu} \displaystyle\sum_{i=1}^n x_i ^2 \leq 0$ soit : $\displaystyle\sum_{i=1}^n x_i ^2 \leq 0$.
Donc : $\forall i \in [|1,n|] \ x_i =0$ et la famille $(u_1, \cdots, u_n)$ est bien libre.

2) Supposons que $(u_1, \cdots, u_n)$ est $1$-presque orthogonale. 
Les vecteurs $u_1, \cdots, u_n$ étant unitaires, il suffit de montrer qu'ils sont deux à deux orthogonaux.
Soit $i \ne j$. Montrons que : $\langle u_i, u_j \rangle =0$.
On a : $|| u_i +u_j||^2= 1^2+1^2=2$.
De plus : $||u_i + u_j ||^2= ||u_i ||^2+ ||u_j||^2+ 2 \langle u_i, u_j \rangle=2+2 \langle u_i, u_j \rangle$
Donc : $2 \langle u_i, u_j \rangle=0$ et finalement : $ \langle u_i, u_j \rangle =0$.
Et la famille $(u_1, \cdots, u_n)$ est bien orthonormée.
Réciproquement, supposons que $(u_1, \cdots, u_n)$ est orthonormée.
Soit $(x_1, \cdots, x_n) \in \R^n$. D'après le théorème de Pythagore : 
$|| \displaystyle\sum_{i=1}^n x_i u_i ||^2 = \displaystyle\sum_{i=1}^n ||x_i u_i ||^2$.
Donc : $|| \displaystyle\sum_{i=1}^n x_i u_i ||^2 = \displaystyle\sum_{i=1}^n x_i ^2 ||u_i ||^2$.
Or $(u_1, \cdots, u_n)$ est orthonormée donc : $\forall i \in [|1,n|] \ ||u_i||^2=1$.
Ainsi : $|| \displaystyle\sum_{i=1}^n x_i u_i ||^2 = \displaystyle\sum_{i=1}^n x_i ^2$.
La famille $(u_1, \cdots, u_n)$ est donc $1$-presque orthogonale. 

3a) Je ne vois pas.

@bd2017
D'accord merci.

Ah d'accord merci.
3.b) Si $k=0$, alors $||f(x)=0||$ donc $f(x)=0$.
Si $x \ne 0$, alors $x=f^{-1}(0)=0$ ce qui est absurde.
Donc $\boxed{k \ne 0}$.

• D'après 3.a, $\exists k>0 \ \forall x \in F \ ||f(x)|| \leq k ||x||$.
• Toujours d'après 3.a, en appliquant le résultat à $f^{-1}$, $\exists k' >0 \ \forall y \in F \ ||f^{-1}(y)|| \leq k' ||y||$. Pour $y=f(x)$, on obtient : $||x|| \leq k' || f(x) ||$.

Donc : $\boxed{\dfrac{1}{k'} ||x||  \leq ||f(x)|| \leq k ||x||}$.
Montrons que : $k'=\dfrac{1}{k}$.
Déjà pour $x \ne 0$, on a : $\dfrac{1}{k'} ||x||  \leq k ||x||$ donc $\boxed{\dfrac{1}{k'} \leq k}$.
Pour l'autre inégalité, $\dfrac{1}{k'} \geq k$, comment faire ? 

@lourran
Je ne trouve pas cet exercice simple.

@bd2017
Non, je ne pense pas qu'il y ait unicité, car on choisit une base de $E$.
On a : 
$\dfrac{1}{k'} ||x|| \leq ||f(x)|| \leq k ||x||$.
Raisonnons par disjonction de cas : 

• Si $k' \geq k$, alors $\dfrac{1}{k'} ||x|| \leq ||f(x)|| \leq k' ||x||$.
• Si $k' \leq k$, alors $\dfrac{1}{k} ||x|| \leq ||f(x)|| \leq k ||x||$.

On choisit : $\lambda =\max(k,k') >0$, et on a a bien : $\boxed{\forall x \in F \ , \  \ \dfrac{1}{\lambda} ||x|| \leq ||f(x)|| \leq \lambda ||x||}$.

Je bloque sur Q4, je ne vois pas comment démarrer.

Quelqu'un sait faire les grandes barres pour les normes sur latex ? 

Ok merci.
Pour la question 4 quelqu'un a une solution ?
Je n'y arrive pas.

En fait je crois que c'est bon.
On fixe $(x_1, \cdots ,x_n) \in \R^n$ et on prend $x=\displaystyle\sum_{i=1}^n x_i e_i \in F$.
L'exercice est terminé.