Nombres de Mersenne

SandwichFromage · 21 Jul

Bonjour,

Soit $M_n = 2^n - 1$, où $n \geqslant 2$.

Pouvez-vous montrer que $M_n$ n'est pas de la forme $a^b$, où $a,b\geqslant 2$ ?

SandwichFromage · 21 Jul

P.S. C'est écrit dans la rubrique "Du côté des élèves de Terminale S" d'une revue de la RMS...

Titi le curieux · 21 Jul

Bonjour,

Je ne connaissais pas le théorème de Lagrange en terminale, mais je te propose quand même ça:

Quel est l'ordre du groupe des inversible de $\mathbb{Z}/ 2^n\mathbb{Z}$ ?

$-1$ est-il un carré modulo $2^n$? (faire une récurrence sur $n$).

SandwichFromage · 21 Jul

@Titi le curieux Merci pour ton aide.
$-1$ n'est pas un carré modulo $2^n$ ($n\geqslant 2$) car $-1$ n'est pas un carré modulo $4$.
$a$ est impair, on a $-1 = a^b[2^n]$ donc $b$ est impair.
On a $a^{2^{n-1}} = 1[2^n] = -a^b [2^n] $ ; $a^b$ est premier avec $2^n$ donc inversible dans $\mathbf Z/2^n\mathbf Z$, d'inverse $a^{2^{n-1}-b}$ ($2^{n-1}-b\geqslant 0$). Je ne vois pas de contradiction ("$-1 = x^2 [2^n]$" ne m'apparaît pas, si c'est la contradiction recherchée)

JLT · 22 Jul

Soit $k$ l'ordre de $a$ modulo $2^n$ alors $a^b+1=2^n\mid a^k-1$ donc $k>b$. De plus $a^{2b}\equiv 1\,[2n]$ donc $k=2b$, par conséquent $b$ est une puissance de $2$.

franz_lemmermeyer · 22 Jul

C'est une conséquence du théorème de Mihailescu (conjecture de Catalan).

Franz

SandwichFromage · 22 Jul

Metci @JLT, bien joué. Solution simple et élégante en deux lignes, comme à son habitude...
Je suis forcé de m'incliner.

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