loi du maximum

zorg
zorg
Modifié (21 Jul) dans Analyse
On définit pour tout $(i,j) \in \N^2$, $\mathbf{P}(X=i,Y=j)=\alpha q^{i+j}$ avec $q \in ]0,1[$.
1) Déterminer la valeur de $\alpha$. On pose $p=1-q$. 
On trouve $\alpha=(1-q)^2=p^2$.
2) Déterminer les lois marginales de $X$ et $Y$. 
On montre que $\mathbf{P}(X=i)=pq^i$. Idem pour $Y$.
Que vaut $\mathbf{E}[X]$ et $\mathbf{V}[X]$. 
En posant $X'=X+1$, $X'$ suit une loi géométrique de paramètre $p$ On en déduit facilement $\mathbf{E}[X]$ et $\mathbf{V}[X]$.
3) Calculer $\mathbf{Cov}(X,Y)$.
On montre que $X$ et $Y$ sont indépendantes donc leur covariance est nulle.
4) Reconnaître la loi de $\max(X,Y)$. 
Je pose $Z=\max(X,Y)$.
Je trouve $\forall k \in \N$, $\mathbf{P}(Z=k) = p^2q^k\left[\frac{2}{p}(1-q^k)+q^k\right]$.
On est censé reconnaître une loi connue ? Là je ne vois pas.








Réponses

  • etanche
    etanche
    Oral  n8343 BEOS https://beos.prepas.org/sujet.php?id=8343
  • zorg
    zorg
    @etanche C'est en effet dans cette base que j'ai trouvé cet exercice. Je ne vois pas pourquoi Z suivrait une loi connue.
  • zorg
    zorg
    Bon en fait je pense qu'il y a une erreur dans l'énoncé. C'est plutôt dans $T=\min(X,Y)$ qu'on reconnaît une loi. Sauf erreur de calcul, on trouve $\mathbf{P}(T=k) = q^{2k}p(2-p)=q^{2k}(1-q^2)$ qui est une loi géométrique (sur $\N$) de paramètre $1-q^2$. 
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