série de fonctions

Bonjour. Je lis dans un exercice $S(a) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{a}{n^2+a^2}$ pour $a>0$.

1) Étudier la convergence de la somme et déterminer le domaine de définition de $S$. On trouve $\R_+^*$.

2) Montrer que $\forall n \ge 2$, $\left|S(a) - \sum_{k=1}^n \frac{a}{k^2+a^2}\right| \le \frac{a}{n}$. On peut écrire $\frac{a}{k^2+a^2} \le \frac{a}{k^2} \le \frac{a}{k(k-1)} = a\left(\frac{1}{k-1} - \frac{1}{k}\right)$ puis sommer. (Soit dit en passant, je ne vois pas pourquoi il faut supposer $n\ge2$.)

3) et 4) Quelques Pythoneries pour conjecturer $\lim_{+\infty}S$.

5) On pose $g(x) = \frac{a}{x^2+a^2}$. Déterminer le domaine de définition, puis une primitive de $g$. OK pas de problème.

6) Valider la conjecture du 4) On trouve en utilisant la question précédente et une comparason série-intégrale que $\lim_{+\infty}S = \frac{\pi}{2}$.

7) On pose $f_n(x) = \frac{n^2-x^2}{(n^2+x^2)^2}$ puis $f=\sum_{n=1}^{+\infty}f_n$. Étudier la convergence simple de la série $\sum f_n$. Déterminer le domaine de définition de $f$. OK c'est défini sur $\R$.

8)  Justifier la relation $f'(a)=S(a)$.

C'est cette dernière question qui me pose problème. Lorsqu'on dérive terme à terme $f$, on ne retrouve pas $S$. Serait-ce une erreur d'énoncé ?