commutant d'une translation

Bonjour. Je cherche à déterminer l'ensemble $E$ des endomorphismes de $\R_n[X]$ qui commutent avec la translation $T :  \R_n[X] \rightarrow \R_n[X]$, $P \mapsto P(X+1)$.

Voici une solution.

1) On montre que $E$ est un sous-espace stable par composition.

2) L'opérateur de dérivation $D :  \R_n[X] \rightarrow \R_n[X]$, $P \mapsto P'$ appartient à $E$ donc pour tout entier $k$, $D^k$ appartient à $E$. Comme la famille $(D^k)_{0\le k \le n}$ est une famille libre, $n+1 \le \dim(E)$.

3) Pour montrer l'inégalité dans l'autre sens, on considère l'application $\phi : E \rightarrow \R_n[X]$, $f \mapsto f(X^n)$. On a que son noyau est nul. En effet, si $f(X^n)=0$ alors, comme $f \in \R_n[X]$, pour tout entier $k$, $f((X+k)^n)=0$. Or on montre (par un calcul de déterminant à la Vandermonde) que la famille $((X+k)^n)_{0\le k \le n}$ est une base de $\R_n[X]$. Donc $f$ est l'endomorphisme nul donc $\phi$ est injective. Donc $\dim(E) \le n+1$.

Conclusion : $E = \mathrm{vect}((D^k)_{0\le k \le n})$.

Question : je cherche une preuve plus simple sans utiliser l'application $\phi$ qui me paraît peu naturelle.