Bourbaki a-t-il encore un intérêt en 2024 ?

Foys a dit :

 le fait qu'il existe des énoncés qui sont exprimables dans le langage Bourbakiste mais qui ne sont la traduction d'aucun énoncé de théorie des ensembles traditionnelle.

As-tu un exemple ? C'est quoi exactement ce langage bourbaki ? Est-ce un langage du premier ordre ?

@Congru on part de la signature $\{\in,=\}$.

I) Les termes et formules sont définis par induction mutuelle:
Soit $y$ une lettre; $VL^T(y):= \{y\}$; $VL^T(\tau_x P) := VL^F (P) \backslash \{x\}$; $VL^F(a \in b) := VL^F(a = b):= VL^T(a) \cup VL^T (b) $ pour tous termes $a,b$; $VL^F(A \vee B ):= VL^F (A) \cup VL^F(B )$ et $VL^F(\neg A):= VL^F(A)$ pour toutes formules $A,B$. Une lettre $v$ est dite libre dans le terme $s$ (resp. la formule $E$) si $v\in VL^T(s)$ (resp. $v \in VL^F(E)$). La substitution sans capture se définit exactement comme en logique du premier ordre.

III) On a les abréviations suivantes:
1°) Pour toutes formules $A,B$, $A \Rightarrow B:= (\neg A \vee B )$; $A \wedge B:= \neg (A \Rightarrow \neg B )$; $A \Leftrightarrow B:= (A \Rightarrow B ) \wedge (B \Rightarrow A)$: (ça je pense que ça va).
2°) $\exists x P:= P[x:= \tau_x P]$ et $\forall x P:= P[x:= \tau_x (\neg P)]$.

L'interprétation intuitive de $\tau_x P$ est "un certain objet qui satisfait la propriété $x \mapsto P$ si c'est possible, sinon un objet arbitraire" (ceci est concrétisé par le système de preuve avec axiomes donnés ci-dessous en particulier iii-5).

IV) Soit $\Gamma$ un ensemble de formules. Une preuve avec axiomes dans $\Gamma$ est une liste $(A_i)_{1 \leq i \leq n}$ de formules où pour tout $p \leq n$, on est dans au moins un des deux cas suivants;
(i) il existe $q,r < p$ tels que $A_q$ est la formule $A_r \Rightarrow A_p$
(ii) $A_p\in \Gamma$
(iii) $A_p$ est de l'une des formes suivantes ($A,B,C$ étant des formules quelconques, $x$ une lettre quelconque et $s,t$ des termes quelconques):

(iii-1) $(A \vee A) \Rightarrow A$
(iii-2) $A \Rightarrow (B \vee A)$
(iii-3) $(A \vee B ) \Rightarrow (B \vee A)$
(iii-4) $(A \Rightarrow B ) \Rightarrow ((C \vee A) \Rightarrow (C \vee B ))$
(iii-5) $A[x:= t] \Rightarrow A[x:= \tau_x A]$
(iii-6) $s = t \Rightarrow (A[x:= s] \Leftrightarrow A [x:= t])$
(iii-7) $(\forall x (A \Leftrightarrow B )) \Rightarrow \tau_x A = \tau_x B $.

La conservativité de ce système sur la logique classique égalitaire du premier ordre lorsque $\Gamma$ est vide est conséquence de ce qu'on appelle "premier théorème epsilon étendu de Hilbert" (Hilbert notait $\varepsilon$ ce que Bourbaki a préféré noter $\tau$ afin de ne pas le confondre avec le symbole d'appartenance) ainsi que de la déskolémisation.
Pour ce qui est de l'extension stricte du langage, comment exprimer au premier ordre quelque chose comme
$\tau_x P \in \tau_x Q$ où $P:= \forall y, y \in x \Leftrightarrow \neg y \in y$ et $Q:= \exists z,  x \in z$ ?
Le symbolisme introduit de grosses ambiguïtés.

L'intérêt des Bourbaki m'a l'air d'être encyclopédique. Un érudit ne passe pas son temps à lire des encyclopédies, mais c'est important pour lui que de tels ouvrages existent.

Aujourd'hui on a tendance à oublier les apports de Bourbaki tellement ceux-ci sont rentrés dans nos pratiques courantes.

Pour se rafraichir la mémoire, on pourrait aller lire les articles des mathématiciens professionnels du XIXème siècle et même du début du XXème siècle. On constaterait que les rédactions sont "peu rigoureuses" voire carrément fausses et que les implicites sont légions. 

Bourbaki a imposé le style contemporain à base de cycles "définitions-propositions-preuves" en insistant sur l'importance d'expliciter toutes les notations et de rédiger un texte linéaire sans circularités. Tout mathématicien qui publie un article professionnel avec ce style de rédaction est consciemment ou inconsciemment dans une lignée bourbakiste.

C'est évidemment sans compter sur leurs nombreux apports notationnels ou lexicaux (soient inventés par eux, soit popularisés par eux) comme l'utilisation systématique des quantificateurs, les mots injectif/surjectif, etc.

Au niveau de leur importance dans l'histoire des mathématiques, je compare sans problème les éléments de Bourbaki avec les éléments d'Euclide.

J'ai les deux tomes de topologie et celui des espaces vectoriels topologiques. Je les consulte de temps en temps. Comme dit Poirot, Math Coss etc. ce ne sont pas des livres à acheter lorsqu'on débute, mais à consulter lorsqu'on a déjà une certaine connaissance du sujet. J'y ai trouvé des approfondissements qui sont absents d'autres livres plus "standards". 

barkhausen a dit :

 Néanmoins, je me demande (et ce depuis mon année de sup), avons-nous un quelconque intérêt à nous lancer dans ces bouquins ?

Apprendre avec des Bourbaki c'est un peu utopiste et très abstrait.
Personnellement, j'ai commencé à les étudier à partir du M2 et je trouve qu'ils n'ont pas leur égal dans la littérature du fait que le traité est assez complet, exhaustif et le plus général possible.
 A l'heure actuelle, je ne m'en passe plus, mais ils sont tellement interdépendants entre eux qu'il est assez complexe de vouloir se plonger dans un seul tome. Encore une fois, les tomes d'algèbres et algèbre commutatives sont assez fantastiques.

Après, je suis un peu un fan boy de l'idée et du concept de Bourbaki, donc je ne suis pas le meilleur juge.