Carrés et doubles de carrés

Cidrolin
Modifié (July 2024) dans Arithmétique
Bonjour,
Pour $n$ entier strictement positif on pose :  $h(n)=\Big\lfloor \dfrac{n+1}{1+\sqrt2}\Big\rfloor-\Big\lfloor \dfrac{n}{1+\sqrt2}\Big\rfloor+1$.

On pose enfin : $u_n= h(n)\times \Big\lfloor \dfrac{n+1}{1+\frac{\sqrt2}{3-h(n)}}\Big\rfloor^2$.

Montrer que cette suite prend exactement et dans l'ordre les valeurs :$ 1,2,4,8,9,16,18,25,32,36,\dots$ soit https://oeis.org/A028982.





Réponses

  • Cidrolin
    Modifié (July 2024)
    Tout le. mode aime les polynômes : $n^2,2n^2 $, mais les gens vont  se détourner avec effroi et horreur de cette plaie lamentable de cette fonction qui donne tantôt l’un tantôt l’autre. 
    Amicalement
    Cidrolin
  • Monsieur Cidrolin :

    - ça sert à quoi la beauté ?

    - quel est son rapport avec la vérité ?
  • jandri
    Modifié (July 2024)
    Je ne réponds qu'aujourd'hui car je n'ai pas eu le temps de chercher hier.
    Cet exercice se résout avec les deux suites de Beatty associées : $a_n=\lfloor n(1+\sqrt2)\rfloor$ et $b_n=\lfloor n(1+1/\sqrt2)\rfloor$.

    On montre que $h(n)=2$ si et seulement si $n=a_k$ d'où $h(n)=1$ si et seulement si $n=b_k$.

    On en déduit que $u_n=2k^2$ si $n=a_k$ et $u_n=k^2$ si $n=b_k$.

    Enfin $j\sqrt2<k$ est équivalent à $a_j<b_k$.






  • Bravo jandri.
  • Guego
    Modifié (July 2024)
    The mathematician’s patterns, like the painter’s or the poet’s must be beautiful; the ideas like the colours or the words, must fit together in a harmonious way. Beauty is the first test: there is no permanent place in the world for ugly mathematics. - Godfrey Harold Hardy
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